北京市昌平区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数f(x)?ax?1在(2,??)上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） xB．?,???
A．??1?,??? ?4??1?4??C．[1,??)
D．???,?
4??1??【答案】B 【解析】 【分析】
对a分类讨论，当a?0，函数f(x)在(0,??)单调递减，当a?0，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】
当a?0时，函数f(x)?ax?所以a?0，f(x)?ax?1在(2,??)上单调递减， x?1?1,???， 的递增区间是?x?a?所以2?故选:B. 【点睛】
11，即a?. a4本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 2．已知函数f?x?满足f?1?x??f?1?x?，当x?1时，f?x??x?A．xx??3或x?0? C．xx??2或x?0? 【答案】C 【解析】 【分析】
2 ，则xf?x?2??1??（ ）
x??B．xx?0或x?2? D．xx?2或x?4?
???2?2?x??1简单判断可知函数关于x?1对称，然后根据函数f?x??x?的单调性，并计算?，结合对称xx??x?0性，可得结果. 【详解】
由f?1?x??f?1?x?，
可知函数f?x?关于x?1对称 当x?1时，f?x??x?可知f?x??x?2， x2在?1,???单调递增 x2??x??1?x?2 则?x??x?0又函数f?x?关于x?1对称，所以f?0??1 且f?x?在???,1?单调递减，
所以x?2?0或x?2?2，故x??2或x?0 所以xf?x?2??1??xx??2或x?0? 故选：C 【点睛】
本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：f?1?x??f?1?x?，
??f?1?x??f?1?x??0，考验分析能力，属中档题.
3．在区间??1,1?上随机取一个实数k，使直线y?k?x?3?与圆x?y?1相交的概率为（ ）
22A．
1 2B．
1 4C．
2 2D．
2 4【答案】D 【解析】 【分析】
利用直线y?k?x?3?与圆x?y?1相交求出实数k的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得
22所求事件的概率. 【详解】
22由于直线y?k?x?3?与圆x?y?1相交，则?1，解得?2?k?2. 44k2?13k因此，所求概率为
2?P?24?2. 24故选：D. 【点睛】
本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.
4．给出下列三个命题：
2①“?x0?R,x0?2x0?1?0”的否定；
②在VABC中，“B?30?”是“cosB?3”的充要条件； 2③将函数y?2cos2x的图象向左平移其中假命题的个数是（ ） A．0 【答案】C 【解析】 【分析】
B．1
π???个单位长度，得到函数y?2cos?2x??的图象． 66??C．2 D．3
结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】
22对于命题①,因为x0?2x0?1??x0?1??0,所以“?x0?R,x0?2x0?1?0”是真命题,故其否定是假命题,
2即①是假命题;
对于命题②,充分性:VABC中,若B?30?,则30??B?180?,由余弦函数的单调性可知,cos180??cosB?cos30?,即?1?cosB?33,即可得到cosB?,即充分性成立;必要性:VABC22中,0??B?180?,若cosB?3,结合余弦函数的单调性可知,cos180??cosB?cos30?,即230??B?180?,可得到B?30?,即必要性成立.故命题②正确;
对于命题③,将函数y?2cos2x的图象向左平移的图象,即命题③是假命题． 故假命题有①③. 故选:C 【点睛】
本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.
??π??π???个单位长度,可得到y?2cos?2?x????2cos?2x??6??3?6???x2y2y2x25．连接双曲线C1:2?2?1及C2:2?2?1的4个顶点的四边形面积为S1，连接4个焦点的四边形
abba的面积为S2，则当
S1取得最大值时，双曲线C1的离心率为（ ） S2B．
A．5 232 2C．3 D．2
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求
S1出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有a?b，从而求得其离心率.
S2【详解】
x2y2y2x2双曲线2?2?1与2?2?1互为共轭双曲线，
baab四个顶点的坐标为(?a,0),(0,?b)，四个焦点的坐标为(?c,0),(0,?c)，
1?2a?2b?2ab， 212四个焦点连线形成的四边形的面积S2??2c?2c?2c，
2四个顶点形成的四边形的面积S1?S12ababab1????， 所以
S22c2a2?b22ab2当
S1c取得最大值时有a?b，c?2a，离心率e??2， S2a故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.
uuuruuur6．在复平面内，复数z?a?bi（a，b?R）对应向量OZ（O为坐标原点），设OZ?r，以射线Ox
为始边，OZ为终边旋转的角为?，则z?r?cos??isin??，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：
z1?r1?cos?1?isin?1?，z2?r2?cos?2?isin?2?，则z1z2?rr12??cos??1??2??isin??1??2???，由棣
莫弗定理可以导出复数乘方公式：??r?cos??isin?????rnn?cosn??isinn??，已知z??3?i，则
?4z?（ ）
A．23 B．4
C．83 D．16
【答案】D 【解析】 【分析】
n根据复数乘方公式：??r?cos??isin?????r?cosn??isinn??，直接求解即可.
n【详解】
z??3?i?44??31????????2?cos?isin?
?2?2i????16?66????????4?????????16?cos?4???isin?4?????8?83i，
6?6????? z???8??832??2?16.
故选：D 【点睛】
本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.
27．抛物线y?4x的焦点为F，点P(x,y)为该抛物线上的动点，若点A(?1,0)，则
PF 的最小值为（ ）
PAA．
1 2B．
2 2C．
3 2D．22 3【答案】B 【解析】 【分析】
|PF|通过抛物线的定义，转化PF?PN，要使有最小值，只需?APN最大即可，作出切线方程即可求
|PA|出比值的最小值． 【详解】
解：由题意可知，抛物线y?4x的准线方程为x??1，A(?1,0)，
2过P作PN垂直直线x??1于N，
由抛物线的定义可知PF?PN，连结PA，当PA是抛物线的切线时，即?PAF最大，就是直线PA的斜率最大，
|PF|有最小值，则?APN最大，|PA|?y?k(x?1)y?k(x?1)设在PA的方程为：，所以?2，
y?4x?解得：k22x?(2k2?4)x?k2?0，
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