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因为mg?kx0，m1?m，所以x1?x0．由机械能守恒得
(m1?m)gx1?12(m1?m)v1?2?12kx02?12(m1?m)vm?212k(x1?x0)
2vm?2gx0.
19.一个质量为m=0. 20 kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光竖直的圆环上，弹簧固定于环的最高点A，环的半径R=0. 50 m,弹簧原长L0 = 0. 50 m，劲度系数为4.8 N/m，如图所示，若小球从图示位置B点由静止开始滑到最低点C时，弹簧的弹性势能E弹=0. 60J；求：
(1)小球到C点时的速度vC的大小． (2)小球在C点时对环的作用力（g=10 m/S). 解：小球由B点滑到C点，由动能定理得 mg(R?Rcos60)?W弹力?0212mvC，W弹力??0.60J 2得vC=3 m/s. (2）在C点时有F弹?k(2R?l0)?2.4N, 设环对小球作用力为N，方向指向圆心，则 F弹?N?mg?mv弹R2,N?3.2N. 小球对环作用力为N?, N???N??3.2N. 20．如图所示，顶角为2?、内壁光滑的圆锥体倒立竖直固定在P点，中心轴PO位于竖直方向，一质量为m的质点以角速度?绕竖直轴沿圆锥内壁在同一水平面上做匀速圆周运动，已知a、b两点为质点m运动所通过的圆周一直径上的两点，求质点m从a点经半周运动到b点时，圆锥体内壁对质点施加的弹力冲量． 解：质点做匀速圆周运动，设所受弹力为F，圆周运动的半径为R，在半个圆周内质点速度方向转过了?角，经历的时间为t，小球所受弹力的竖直分量、水平分量分别为Fsin??mg,Fcos??mR?,???t， 弹力的竖直分量冲量为I1 =mgt,
由动量定理可知，弹力水平分量冲量为I2?mR??(?mR?)?2mR?, 弹力的合冲量为I22?I1?I2,I?22mg???4cot? I2I12cot?2方向与竖直方向的夹角为?，得tan????
21．如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，杆和球在竖直面内转动，已知球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力．求：
(1)球B在最高点时，杆对水平轴的作用力大小．
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(2）球B转到最低点时，球A和球B对杆的作用力分别是多大？方向如何？ 解：(1)球B在最高点时速度为v0，有 mg?mv022L，得v0?12v0?22gL.
122gL，设此时杆对球A的作用力为FA，则
此时球A的速度为
FA?mg?m(v0/2)L?,FA?1.5mg,,
A球对杆的作用力为FA?1.5mg,.
水平轴对杆的作用力与A球对杆的作用力平衡，再据牛顿第三定律知，杆对水平轴的作用力大小为F0=1. 5 mg. (2)设球B在最低点时的速度为vB，取O点为参考平面，据机械能守恒定律有 mg?2L?12mv0?mgL?12mv2B212m(v02)2
??mg?2L??mgL?12m(vB2 )2解得vB?265gL。 对A球有F1?mg?m(vB/2)L2 解得杆对A球的作用力F1?0.3mg. vB2对B球有F2?mg?m2L 解得杆对B球的作用力F2?3.6mg. 据牛顿第三定律可知：A球对杆的作用力大小为0.3mg,方向向上；B对杆的作用力大小为3. 6mg，方向向下．
22．如图所示，一条不可伸长的轻绳长为L，一端用手握住，另一端系一质量为m的小球．今使手握的一端在水平桌面上做半径为R、角速度为?的匀速度圆周运动，且使绳始终与半径为R的圆相切，小球也将在同一水平内做匀速圆周运动，若人手做功的功率为P，求：
(1）小球做匀速圆周运动的线速度大小；
(2）小球在运动过程中受到的摩擦力的大小． 解：(1）小球轨道半径为r?R2?L，小球角速度与手转动角速度相同，小球线速度
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为v??r??R2?L．
2(2）人手对绳做功的功率等于小球克服摩擦力做功的功率，即P?f?r，所以
Pf?
2?R?L223．如图所示，静止在光滑水平面上的小车质量为M=20 kg．从水枪
2
中喷出的水柱的横截面积为S=10 cm，速度为v=10m/ s，水的密度为?=1. 0×103kg/m3．若用水枪喷出的水从车后沿水平方向冲击小车的前壁，且冲击到小车前壁的水全部沿前壁流进小车中．当有质量为m=5 kg的水进入小车时，试求： (1）小车的速度大小； (2）小车的加速度大小． 解：(1)流进小车的水与小车组成的系统动量守恒，当淌入质量为m的水后，小车速度为mvm?Mv1，则mv?(m?M)v1,即v1??2m/s (2）质量为m的水流进小车后，在极短的时间△t内，冲击小车的水的质量为 ?m??S(v?v1)?t 此时，水对车的冲击力为F，则车对水的作用力也为F，据动量定理有 ?F?t??mv1??mv,F??S(v?v1)?64N,a?2Fm?M?2.56m/s。 224．如图所示，质量为M=0. 9 kg的靶盒位于光滑水平导轨上，当靶盒在O点时，不受水平力作用，每当它离开O点时，便受到一个指向O点的大小为F=40 N的水平力作用．在P处有一个固定的发射器，它可根据需要瞄准靶盒，每次发射出一颗水平速度v0=60 m/s、质量m=0. 10 kg的球形子弹（子弹在空中运动时可以看做不受任何力作用），当子弹打入靶盒后便留在盒内．设开始时靶盒静止在O点，且约定每当靶盒停在或到达O点时，都有一颗子弹进入靶盒内． (1）当第三颗子弹进入靶盒后，靶盒离开O点的速度多大？ (2）若发射器右端到靶盒左端的距离s=0. 20 m，问至少应发射几颗子弹后停止射击，才能使靶盒来回运动而不碰撞发射器？（靶盒足够大） 解：(1）第一颗子弹射入时，有mv0?(m?M)v1,在水平力作用下靶盒向右匀减速到零，再向左加速到O点，速度大小v1?v1，方向向左．第二颗子弹射入时，有?mv0?(m?M)v1?(2m?M)v2,代入数值得v2?0，即静止．第三颗子弹射入时，有
mv0?(3m?M)v3, 代入数值得v3?5m/s．此即为靶盒离开O点时的速度大小．
?(2)由（1)可知，射入的子弹为偶数时靶盒静止，射入的子弹为奇数时靶盒运动，设射入第k颗子弹时靶盒来回运动而不碰到发射器，则
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?Fsmax?0?12(M?km)vk,2
smax?0.20m,mv0?(M?km)vk,解得k=13.5.
故至少应发射15颗子弹才能使靶盒来回运动而不碰撞发射器． 25．如图所示，质量为3m、长度为L的木块置于光滑的水平面上，质量为m的子弹以初速度v0水平向右射入木块，穿出木块时速度为
25v0，设木块对子弹的阻力始终保持不变．
(1)求子弹穿透木块后，木块速度的大小； (2)求子弹穿透木块的过程中，木块滑行的距离s； (3)若改将木块固定在水平传送带上，使木块始终以某一恒定速度(小于v0）水平向右运动，子弹仍以初速度v0水平向右射入木块．如果子弹恰能穿透木块，求此过程所经历的时间．
解：(1) mv0?m(2) f(s?L)?L61225v0?3mv,，则v?2v05． 12?3mv, 2m[v0?(25v0)],fs?2解之得s?,f?9mv025L2。 12m(v0?u) 22(3)ft?m(v0?u),f(ut?L)?解之得t?52L3v0。 26．如图所示，P为位于某一高处的质量为m的物块，B为位于水平地面上的质量为M的特殊长平板，mM?110，平板与地面间的动摩擦因数?=0. 02，在平板的表面上方存在一定厚度的“相互作用区域”，如图中划虚线的部分．当物块P进入相互作用区时，B便有竖直向上的恒力f作用于P, f=kmg，k =11，f对P的作用刚好使P不与B的上表面接触；在水平方向上P、B之间没有相互作用力．已知物块P开始下落的时刻，平板B向右的速度为v0=10 m/s, P从开始下落到刚达到相互作用区所经历的时间为t0=2s．设B板足够长，保证物块P总能落入B板上方的相互作用区，取重力加速度g=10m/s2．求：
(1）物块P从开始自由下落到再次回到初始位置所经历的时间；
(2）当平板B开始停止运动的那一时刻，P已经回到初始位置多少次． 解：(1)物块P从开始下落到减速运动速度为零的全过程中，根据动量定理，有 mg(t0?t)?ft?0 则t?mgt0f?mg?1k?1t0
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