（2）代换（配凑）法――已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。如（1）已知f(1?cosx)?sin2x,求fx2的解析式（答：f(x2)??x4?2x2,x?[?2,2]）；（2）若f(x???11)?x2?2，则函数f(x?1)=_____（答：x2?2x?3）；（3）若函数f(x)是xx定义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那么当x?(??,0)时，
f(x)=________（答：x(1?3x)）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，
即f(x)的定义域应是g(x)的值域。
（3）方程的思想――已知条件是含有f(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。如（1）已知
，求f(x)的解析式（答：f(x)??3x?f(x)?2f(?x)?3x?22）；（2）已知f(x)是奇3函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=
x1,则f(x)= __（答：2）。 x?1x?18. 反函数：
（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有f(x)?0(x?{0})有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数y?x?2ax?3在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是A、a????,1 B、a?2,??? C、a?[1,2] D、a????,1?2,??? （答：D）
（2）求反函数的步骤：①反求x；②互换 x、y；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数y?f(x?1)的反函数不是y?f?1(x?1)，而是y?f?1(x)?1。如设
x?12)(x?0).求f(x)的反函数fx?12????f(x)?((x)（答：
f?1(x)?1(x?1)）． x?1（3）反函数的性质：
①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数f(x)满足条件f(ax?3)= x ，其中a≠ 0 ，若f(x)的反函数f?1(x)的定义域为
?14?,? ，则f(x)的定义域是____________（答：[4,7]）. ??aa?当前第 5 页共76页
②函数y?f(x)的图象与其反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称，注意函数
y?f(x)的图象与x?f?1(y)的图象相同。如（1）已知函数y?f(x)的图象过点(1,1),那
么f?4?x?的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；（2）已知函数f(x)?2x?3，x?1若函数y?g(x)与y?f?17； (x?1)的图象关于直线y?x对称，求g(3)的值（答：）24则方程f?1(x)?4的?2)，
x③f(a)?b?f?1(b)?a。如（1）已知函数f(x)?log3(解x?______（答：1）；（2）设函数f(x)的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数f?1(x)，f (4)＝0，则f?1(4)＝ （答：－2）
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知f?x?是R上的增函数，点A??1,1?,B?1,3?在它的图象上，f?1?x?是它的反函数，那么不等式f?1?log2x??1的解集为________（答：（2,8））；
⑤设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f?1(x)]?x(x?B)，f?1[f(x)]?x
(x?A)，但f[f?1(x)]?f?1[f(x)]。
9.函数的奇偶性。
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数f(x)?2sin(3x??)， ； x?[2??5?,3?]为奇函数，其中??(0,2?)，则???的值是 （答：0）
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断
其奇偶性）：
①定义法：如判断函数y?|x?4|?49?x2的奇偶性____（答：奇函数）。
②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0或
f(?x)??1（f(x)?0）。如判f(x)断f(x)?x(11?)的奇偶性___.（答：偶函数） 2x?12③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。 （3）函数奇偶性的性质：
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①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
③若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x)?f(|x|).如若定义在R上的偶函数f(x)在
1(??,0)上是减函数，且f()=2，则不等式f(log1x)?2的解集为______.（答：
38(0,0.5)?(2,??)）
④若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)?0.故f(0)?0是f(x)为奇函数的既
a·2x?a?2不充分也不必要条件。如若f(x)?为奇函数，则实数a＝____（答：1）. x2?1⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设f(x)是定义域为R的任一函数， F(x)?f(x)?f(?x)，
2G(x)?f(x)?f(?x)。①判断F(x)与G(x)的奇偶性； ②若将函数f(x)?lg(10x?1)，
2表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，则g(x)＝____（答：①F(x)为偶函数，
G(x)为奇函数；②g(x)＝
1x） 2⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（f(x)?0，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. 10.函数的单调性。
（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(a,b)内，若总有f?(x)?0，则f(x)为增函数；反之，若f(x)在区间(a,b)内为增函数，则
3请注意两者的区别所在。如已知函数f(x)?x?ax在区间[1,??)上是增函数，f?(x)?0，
则a的取值范围是____(答：(0,3]）)；
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y?ax?b(a?0 x当前第 7 页共76页
增区间为(??,?b?0)型函数的图象和单调性在解题中的运用：
bb],[,??)，减区间为aa[?bb,0),(0,].如（1）若函数f(x)?x2?2(a?1)x?2 在区间（－∞，4] 上是减函aaax?1在区x?2数，那么实数a的取值范围是______(答：a??3）)；（2）已知函数f(x)?间??2,???上为增函数，则实数a的取值范围_____（答：(,??)）；（3）若函数
12a??f?x??loga?x??4??a?0,且a?1?的值域为R，则实数a的取值范围是______(答：
x??0?a?4且a?1）)；
③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数y?log1?x2?2x的单
2??调递增区间是________(答：（1,2）)。
（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数f(x)?loga(x2?ax?3)在区间(??,]上为减函数，求a的取值范围（答：(1,23)）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“?”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，求
a2实数m的取值范围。（答：?11. 常见的图象变换
12?m?） 23①函数y?f?x?a?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左平移a个单
?x位得到的。如设f(x)?2,g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y?x对称，h(x)的图像
由g(x)的图像向右平移1个单位得到，则h(x)为__________(答： h(x)??log2(x?1))
②函数y?f?x?a?((a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向右平移a个单位得到的。如（1）若f(x?199)?4x?4x?3，则函数f(x)的最小值为____(答：2)；（2）要得到y?lg(3?x)的图像，只需作y?lgx关于_____轴对称的图像，再向____平移3个
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