标空间中的一个子空间，该子空间的决策向量均属于可行解集。 对于极小化问题，可以很容易转化为上述的最大化问题来进行求解。 单目标优化问题的可行解集能够通过它的唯一的目标函数f来确定方案之间的优劣关系和程度。对于MOP问题来说，情况则有所不同，因为一般来说，
Xf中的决策向量是无法进行全部排序的，而只能对某个指标进行
排序，即部分排序。
大多数情况下，类似于单目标优化的最优解在多目标优化问题中是不存在的，只存在Pareto最优解。多目标优化问题的Pareto最优解仅仅只是它的一个可以接受的非劣解或满意解，并且通常的多目标优化问题大多具有很多个Pareto最优解。若一个多目标优化问题存在所谓的最优解，则该最优解必定是Pareto最优解，并且Pareto最优解也只由这些最优解组成，再不包含其它解。因此Pareto最优解是多目标优化问题的合理的解集合。通常多目标优化问题的Pareto最优解是一个集合。对于实际应用问题，必须根据对问题的了解程度和决策人员的个人偏好，从多目标优化问题的Pareto最优解中挑选出一个或多个解作为所求多目标优化问题的最优解。因此求解多目标优化问题的首要步骤和关键是求出尽可能多的Pareto最
优解。
2.2传统的多目标优化方法
大多数传统的多目标优化方法将多个目标减少为一个，然后用数学规划工具求解问题。为了用数学规划工具求解问题，首先需要用数字的形式来表明偏好。数字越大，偏好越强。这种需求促成了各种标量化方法的发展。采用这些方法将多目标优化问题转换为单目标或一系列单目标优化问题，然后可以求解变换后的问题。传统的多目标优化方法有多种，本文选取约束法、加权法、距离函数法、最小最大法这四种多目标优化方法来进行简单的介绍。 2.2.1约束法
在MOP问题中，从k个目标函数f1(x)，f2(x)，…，fk(x)中，若能够确定一个主要的目标，例如f1(x)，而对于其他的目标函数f2(x)，…，fk(x)只要求满足一定的条件即可，例如要求：
a?fi(x)?b,i?2,3,?k
这样我们就可以把其他目标当做约束来处理，则MOP问题可以转换为求解如下的单目标优化问题：
Maximize f1(x)
S.t. e(x)?(e1(x),e2(x),?,em(x))?0
a?f1(x)?b,i?2,3,?,k
2. 2.2加权法
加权法将为每个目标函数分配权重并将其组合成为一个目标函数，加权法的基本思想是由Zadeh首先提出，加权方法可以表示如下：
Maximize
z(x)???ifi(x)i?1k
S.t. x?Xf
?i称为权重，不失一般性，通常权重可以正则化使得?i?1k?1，求解上述不同
权重的优化问题则能够输出一组解。这种方法的最大缺点就是不能在非凸性的均衡曲面上得到所有的Pareto最优解。 2.2.3距离函数法
距离函数法需要使用理想点，定义理想点如下：
定义1.3(理想点)：理想点用
***y*?(y1,y2,?,yk)来表示，其中 。
yt*?sup{f1(x)|x?Xf},i?2,3,?,k*y点称为理想点（ideal point）是因为通常该点无法达到。对于每个目
标来说，寻找理想点y是可能的。
*y距离函数法寻找与理想点最近的解，根据理想点的定义，对于目标
*空间的每一个元素，我们无法得到比理想解更好的结果。给定y?Y，y与
y*的距离函数来近似：
r(y)?y?y*
其中
y?y**Lyy是在某种特定范数意义上从到的距离。由于p范数比较清
晰，因此经常采用，对于一个给定的正数p?1，有：
r(y;p)?y?y*Lpp?kp????yj?y*j??j?1?1/p
范数意义下的最优解就是最小化r(y;p)的点。
相关推荐：
loading