§12.3 模拟方法——概率的应用
2018高考会这样考1.以小题形式考查与长度或面积有关的几何概型；2.和平面几何、函数、向量相结合考查几何概型，题组以中低档为主．
复习备考要这样做1.准确理解几何概型的意义，会构造度量区域；2.把握与古典概型的联系和区别，加强与数学其他知识的综合训练．b5E2RGbCAP
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积>成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．p1EanqFDPw 2．几何概型中，事件A的概率计算公式 P(A>＝错误!.DXDiTa9E3d 3．要切实理解并掌握几何概型实验的两个基本特点
(1>无限性：在一次实验中，可能出现的结果有无限多个； (2>等可能性：每个结果的发生具有等可能性． [难点正本 疑点清源]
1．几何概型的实验中，事件A的概率P(A>只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积>成正比，而与A的位置和形状无关．RTCrpUDGiT 2．求实验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解． 3．几何概型的两种类型
(1>线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．
(2>面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．5PCzVD7HxA
1．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________． 答案错误!
解读如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P＝错误!＝错误!.jLBHrnAILg错误!
2．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．xHAQX74J0X 1 / 12
答案错误!
解读如图可设l错误!＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，
则其概率是错误!.
3．已知直线y＝x＋b，b∈[－2,3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率
是________． 答案错误!
解读区域D为区间[－2,3]，d为区间(1,3]，而两个区间的长度分别为5,2.故所求概率P ＝错误!.
4．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是( >LDAYtRyKfE A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!Zzz6ZB2Ltk 答案B
解读以时间的长短进行度量，故P＝错误!＝错误!. 5．(2018·
湖
北>如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( >dvzfvkwMI1
A．1－错误!B.错误!－错误!C.错误!D.错误!rqyn14ZNXI 答案A
解读方法一设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.
不妨令OA＝OB＝2， 则OD＝DA＝DC＝1.
在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝错误!＋错误!×1×1－错误!＝1，
EmxvxOtOco 所以整体图形中空白部分面积S2＝2.
2 / 12
又因为S扇形OAB＝错误!×π×22＝π， 所以阴影部分面积为S3＝π－2. 所以P＝错误!＝1－错误!.
方法二连接AB，由S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC可求出空白部分面积． 设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA＝2. 由题意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC， 所以S空白＝S△OAB＝错误!×2×2＝2. 又因为S扇形OAB＝错误!×π×22＝π， 所以S阴影＝π－2.
所以P＝错误!＝错误!＝1－错误!.SixE2yXPq5
题型一与长度有关的几何概型
例
1
在集合A＝{m|关于x的方程x2＋mx＋
错误!
m＋1＝0无实根}中随机地取一元素m，恰使式子lgm有意义的概率为________．6ewMyirQFL 思维启迪：通过转化集合A和lgm有意义将问题转化成几何概型． 答案错误!
解读由Δ＝m2－4错误!<0得－1 由lgm有意义知m>0，即使lgm有意义的范围是(0,4>， 故所求概率为P＝错误!＝错误!. 探 究 提 高 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长>之比．y6v3ALoS89 在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．M2ub6vSTnP 答案错误! 解读记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点>，弦长 3 / 12 大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：0YujCfmUCw P(A>＝错误!＝错误!. 题型二与面积有关的几何概型 例2设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1>若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；eUts8ZQVRd (2>若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 思维启迪：(1>为古典概型，利用列举法求概率． (2>建立a－b平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型． 解设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”． 当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b. (1>基本事件共有12个：(0,0>，(0,1>，(0,2>，(1,0>，(1,1>，(1,2>，(2,0>，(2,1>，(2,2>，(3,0>，(3,1>，(3,2>．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为P(A>＝错误!＝错误!.sQsAEJkW5T (2>实验的全部结果所构成的区域为{(a，b>|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b>|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，所以所求的概率为P(A>＝错误!＝错误!.GMsIasNXkA 探 究 提 高 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出实验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：TIrRGchYzg P(A>＝错误!. (2018· 湖 南>函数f(x>＝sin(ωx＋φ>的导函数y＝f′(x>的部分图像如图所示，其中，P为图像与y轴的交点，A，C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点．7EqZcWLZNX (2>若在曲线段 (1>若φ＝错误!，点P的坐标为错误!，则ω＝________；lzq7IGf02E错误! 与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．zvpgeqJ1 hk答案(1>3 (2>错误! 4 / 12 解读(1>∵f(x>＝sin(ωx＋φ>，∴f′(x>＝ωcos(ωx＋φ>． 当φ＝错误!时，f′(x>＝ωcos错误!.NrpoJac3v1 又该函数过点P错误!，故错误!＝ωcos错误!.1nowfTG4KI ∴ω＝3. (2>设A(x0,0>，则ωx0＋φ＝错误!，∴x0＝错误!－错误!.fjnFLDa5Zo 又y＝ωcos(ωx＋φ>的周期为错误!，∴|AC|＝错误!，C错误!.tfnNhnE6e5依题意曲线段错误!与x轴围成的面积为 S＝－?错误!－错误!＋错误!错误!－错误!ωcos(ωx＋φ>dx＝2.HbmVN777sL ∵|AC|＝错误!，|yB|＝ω，∴S△ABC＝错误!. ∴满足条件的概率为错误!. 题型三与角度、体积有关的几何概型 例 3 如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝ 错误!，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率．V7l4jRB8Hs 思维启迪：根据“在∠BAC内作射线AM”可知，本题的测度是角度． 解因为∠B＝60°，∠C＝45°， 所以∠BAC＝75°， 在Rt△ABD中，AD＝错误!，∠B＝60°， 所以BD＝错误!＝1，∠BAD＝30°. 记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生． 由几何概型的概率公式，得P(N>＝错误!＝错误!. 探 究 提 高 几何概型的关键是“测度”，如本题条件若改成“在线段BC上找一点M”，则相应的测度变成线段的长度．83lcPA59W9 一只蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为mZkklkzaaP ( > A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!AVktR43bpw 5 / 12
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