答案C
解读由题意，可知当蜜蜂在棱长为10的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为错误!＝错误!.ORjBnOwcEd
转化与化归思想在概率中的应用
典例：(12分>已知向量a＝(2,1>，b＝(x，y>．
(1>若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；
(2>若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
审题视角(1>向量a∥b转化为x＝2y，而x、y的值均为有限个，可以直接列出，转化为古典概型问题；(2>和(1>中条件类似，但x、y的值有无穷多个，应转化为几
何概型问题．2MiJTy0dTT
规范解答
解(1>设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.
基本事件空间为Ω＝{(－1，－1>，(－1,0>，(－1,1>，(0，－1>，(0,0>，(0,1>，(1，－1>，(1,0>，(1,1>，(2，－1>，(2,0>，(2,1>}，共包含12个基本事件；[3
分]gIiSpiue7A其中A＝{(0,0>，(2,1>}，包含2个基本事件．
则P(A>＝错误!＝错误!，即向量a∥b的概率为错误!.[5分]uEh0U1Yfmh(2>设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x
＋y<0，且x≠2y.[7分]IAg9qLsgBX
基本事件空间为
Ω＝错误!，WwghWvVhPE B＝错误!，asfpsfpi4k[10分]
则P(B>＝错误!＝错误!＝错误!，ooeyYZTjj1 即向量a，b的夹角是钝角的概率是错误!.[12分] 温
馨
提
醒
(1>对含两个变量控制的概率问题，若两个变量取值有限个，可转化为古典概型；若取值无穷多个，则可转化为几何概型问题．BkeGuInkxI (2>本题错误的主要原因是不能将问题化归为几何概型问题，找不到问题的切入点．所以要注意体会和应用转化与化归思想在解决几何概型中的作用.PgdO0sRlMo 6 / 12
方法与技巧
1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个． 2．转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将实验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式． 失误与防范
1．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
A组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分>
一、选择题(每小题5分，共20分> 1．(2018·
辽
宁>在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为( >3cdXwckm15 A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!h8c52WOngM 答案C
解读设AC＝x，CB＝12－x， 所以x(12－x><32，解得x<4或x>8. 所以P＝错误!＝错误!. 2．(2018·
北
京
>设不等式组
错误!
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( >v4bdyGious A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!J0bm4qMpJ9 答案D
解读如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是错误!.XVauA9grYP 3．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( >
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A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!bR9C6TJscw 答案C
解读∵S阴影＝?错误!(错误!－x>dx＝错误!错误!pN9LBDdtrd ＝错误!－错误!＝错误!，又S正方形OABC＝1，DJ8T7nHuGT ∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为错误!＝错误!.QF81D7bvUA 4．在区间[
－
1,1]上随机取一个数x，则sin
错误!
的值介于－
错误!
与
错误!
之间的概率为( >4B7a9QFw9h A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!ix6iFA8xoX 答案D
解读∵－1≤x≤1，∴－错误!≤错误!≤错误!.wt6qbkCyDE 由－错误!≤sin错误!≤错误!，得－错误!≤错误!≤错误!，Kp5zH46zRk 即－错误!≤x≤1.故所求事件的概率为错误!＝错误!.Yl4HdOAA61 二、填空题(每小题5分，共15分>
5．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．ch4PJx4BlI 答案错误!
解读如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为错误!.qd3YfhxCzo 6．设p在[0,5]上随机地取值，则方程x2＋px＋错误!＋错误!＝0有实根的概率为________．E836L11DO5 答案错误!
解读一元二次方程有实数根?Δ≥0，而Δ＝p2－4错误!＝(p＋1>(p－2>，解得p≤－1或p≥2，故所求概率为P＝错误!＝错误!.S42ehLvE3M 7．在区间[
－
π
，
π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x>＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为________．501nNvZFis 答案错误!
解读根据函数f(x>＝x2＋2ax－b2＋π有零点得4a2－4(π－b2>≥0，即a2＋b2≥π，建立如图所示的平面直角坐标系，则实验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部，使函数f(x>有零点的区域为图中阴影部
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分，且S阴影＝4π2－π2＝3π2.jW1viftGw9 故所求概率为P＝错误!＝错误!＝错误!.xS0DOYWHLP 三、解答题(共22分>
8．(10分>已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于错误!的概率．LOZMkIqI0w 解如图，正方体ABCD－A1B1C1D1.设M－ABCD的高为h，
9．(12分>已知关于x的一元二次函数f(x>＝ax2－4bx＋1.
设点(a，b>是区域 错误!
则错误!×SABCD×h<错误!，又SABCD＝1，∴h<错误!，
即点M在正方体的下半部分，∴所求概率P＝错误!＝错误!.
内的随机点，求函数y＝f(x>在区间[1，＋∞>上是增函数的概率．ZKZUQsUJed解因为函数f(x>＝ax2－4bx＋1的图像的对称轴为x＝错误!，要使f(x>＝ax2－4bx＋1在
区间[1，＋∞>上为增函数，当且仅当a>0且错误!≤1，即2b≤a.dGY2mcoKtT
依条件，可知实验的全部结果所构成的区域为
错误!.rCYbSWRLIA构成所求事件的区域为错误!.FyXjoFlMWh由错误!得交点坐标为错误!，TuWrUpPObX所以所求事件的概率为P＝错误!＝错误!.7qWAq9jPqEB组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分>
一、选择题(每小题5分，共15分>
1．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x>＝x2＋ax＋b2无零点的概率为( > A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!llVIWTNQFk 答案C
解读要使该函数无零点，只需a2－4b2<0，即(a＋2b>(a－2b><0. ∵a，b∈[0,1]，a＋2b>0，∴a－2b<0. 作出错误!的可行域，yhUQsDgRT1 易得该函数无零点的概率P＝错误!＝错误!.MdUZYnKS8I 2.如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点
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N，连接MN，则弦MN的长超过错误!R的概率为( >09T7t6eTno A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!e5TfZQIUB5 答案D
解读如图，在圆上过圆心O作与OM垂直的直径CD，则MD＝MC＝错误!R，当点N不在半圆弧错误!上时，MN>错误!R，故所求的概率P(A>＝错误!＝错误!.s1SovAcVQM 3．(2018·
陕
西>如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的算法框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( >GXRw1kFW5s
A．P＝错误!B．P＝错误!C．P＝错误!D．P＝错误!
答案D
解读∵xi，yi为0～1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，
当x错误!＋y错误!≤1时，点(xi，yi>均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的错误!圆内，当x错误!＋y错误!>1时对应点落在阴影部分中(如图所
示>．UTREx49Xj9∴有错误!＝错误!，Nπ＝4M－Mπ，8PQN3NDYyP
π(M＋N>＝4M，π＝错误!.
二、填空题(每小题5分，共15分>
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