数学试题
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝60°，b＝2，c＝1，则△ABC的面积为 A.
31 B. C.1 D.3
222.在等比数列{an}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝ A.2 B.±2 C.4 D.±4
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝2，且a2－a5a4＝8a6，则S20＝ A.162 B.－162 C.180 D.－180
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝则cosA的值为 A.
1a，2sinB＝3sinC，41111 B. C.－ D. 4233S6＝ S35.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－4，则
A.5 B.
1317 C. D.9 226.在△ABC中，(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝asinB，其中a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，则C＝ A.
2?3?5?? B. C. D.
34637.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，设△ABC的面积为S，若accosB＝23S，则△ABC的形状为 3A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形.
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8.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝4，b＝6，tanC＝22，则△ABC外接圆的周长为 A.92929393? B.? C.? D.? 24249.已知锐角△ABC中，A＝2C，则
a的范围是 cA.(0，2) B.(2，2) C.(2，3) D.(3，2)
10.公元263年左右，我国数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，.正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽这种解法的可贵之处在于用有限来逼近无穷，这种思想对后世产生了巨大影响。按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则分的近似值是(精确到0.01)。(参考数据sin15°≈0.2588) A.3.14 B.3.11 C.3.10 D.3.05
11.已知等比数列{an}的各项都为正数，当n≥2时，a2a2n－2＝22n，设bn＝log2an，数列{(－1)n
2n?1}的前n项和为Sn，则S2020＝
bn?bn?1?A.－
2020202020192019 B. C.－ D. 2021202120202020cosBcosC23sinA??，bc3sinC12.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
cosB?3sinB?2，则a＋c的取值范围是
A.(3333，3] B.(，3] C.[，3] D.[，3] 2222二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
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13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝－6，S9－S4＝75，则Sn取得最大值时n＝ 。
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC面积为
3，那么b＝ 。 215.如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸B，C的俯角分别为75°，30°，则河流的宽度BC等于 m。
16.已知数列{an}满足2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，数列?Sn，则S1·S2·S3·…·S10＝ 。
三、解答题(本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 17.(本小题满分10分)
如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝3DC。
??1?的前n项和为
logaloga?2n2n+1?
(1)若∠DAC＝
?，求角B的大小； 6(2)若BD＝2DC，且AD＝23，求DC的长。 18.(本小题满分12分)
设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且满足d＝－2，S4＝76。等比数列{bn}满足b1＋b3＝10，b2＋b4＝20。
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
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(2)设cn＝(23－an)bn，求数列{cn}的前n项和Tn。 19.(本小题满分12分)
已知等差数列{an}中，2a1＋a3＝12，a1＋2a2＝1＋a4。 (1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{an}的前n项和为Sn，证明：20.(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足3c＝b(sinA＋3cosA)。 (1)求角B的大小；
(2)若a＝2，D为AC的中点，且BD＝3，求△ABC的面积。 21.(本小题满分12分)
已知数列{cn}的前n项和Tn＝2n1－2，在各项均不相等的等差数列{bn}中，b1＝1，且b1，b2，b5成等比数列。
(1)求数列{bn}、{cn}的通项公式；
(2)设an＝2n＋log2cn，求数列{an}的前n项和Sn。 22.(本小题满分12分) 已知△ABC中∠ACB＝
b＋
1112??????? S1?1S2?2Sn?n32?，角A，B，C的对边分别为a，b，c。 3(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值； (2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值。
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