2019-2020年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第4讲直线与圆圆
与圆的位置关系练习理北师大版
一、选择题
1.(xx·全国Ⅱ卷)圆x＋y－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( ) 4A.－
3C.3
22
2
2
3B.－ 4D.2
解析 由圆的方程x＋y－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式|1×a＋4－1|4得d＝＝1，解之得a＝－. 2
31＋a答案 A
2.(xx·景德镇模拟)过点(3，1)作圆(x－1)＋y＝r的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2x＋y－5＝0 C.x－2y－5＝0
2
2
22
2
2
B.2x＋y－7＝0 D.x－2y－7＝0
2
解析 ∵过点(3，1)作圆(x－1)＋y＝r的切线有且只有一条，∴点(3，1)在圆(x－1)＋y＝r上，
1－01
∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，
3－12∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B. 答案 B
3.已知圆x＋y＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( ) A.－2 C.－6
2
2
2
2
2
B.－4 D.－8
2
解析 将圆的方程化为标准方程为(x＋1)＋(y－1)＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径
r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝－2＝4，所以a＝－4，故选B. 答案 B
|－1＋1＋2|22
＝2，故r－d＝4，即2－a2
4.圆x＋2x＋y＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个
B.2个
22
C.3个 D.4个
|－1－2＋1|22
解析 圆的方程化为(x＋1)＋(y＋2)＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d＝＝
22，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点. 答案 C
5.(xx·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)＋y＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( ) A.y＝－C.y＝－3 43 2
2
2
2
2
1
B.y＝－
21
D.y＝－
4
2
2
解析 圆(x－1)＋y＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC|＝（1－1）＋（－2－0）＝2为直径的圆的方程为(x－1)＋(y＋1)＝1，
1
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－. 故选B.
2答案 B 二、填空题
6.(xx·全国Ⅲ卷) 已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x＋y＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________. 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由?
2
2
2
2
2
?x－3y＋6＝0，
22
?x＋y＝12，
得y－33y＋6＝0，解得y1＝3，y2＝23， ∴A(－3，3)，B(0，23). 过A，B作l的垂线方程分别为
y－3＝－3(x＋3)，y－23＝－3x，令y＝0，
得xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4. 答案 4
7.(xx·兰州月考)点P在圆C1：x＋y－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x＋y＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________. 解析 把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得 (x－4)＋(y－2)＝9，(x＋2)＋(y＋1)＝4.
圆C1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2. 圆心距d＝（4＋2）＋（2＋1）＝35. 所以，|PQ|的最小值是35－5.
222
2
2
2
2
2
2
2
答案 35－5
8.(xx·铜川一模)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)＋y＝1引切线，则切线长的最小值为________.
解析 设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝|PM|－|MQ|＝|PM|－1.
要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离.
设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝
22
2
2
2
2
2
|3－0＋1|1＋（－1）
2
2
＝22.所以|PM|的最小值为22.
所以|PQ|＝|PM|－1≥（22）－1＝7. 答案
7
三、解答题
9.(xx·全国Ⅰ卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)＋(y－3)＝1交于M，N两点. (1)求k的取值范围；
→→
(2)若OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r＝1， 由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1， 因为l与C交于两点，所以4－74＋7解得 33所以k的取值范围为? |2k－3＋1| <1. 21＋k2 2 ?4－74＋7? ，?. 3??3 2 2 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2). 将y＝kx＋1代入方程(x－2)＋(y－3)＝1，整理得 (1＋k)x－4(1＋k)x＋7＝0. 4（1＋k）7 所以x1＋x2＝，x1x2＝22. 1＋k1＋k2 2 OM·ON＝x1x2＋y1y2 4k（1＋k）2 ＝(1＋k)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8. 2 1＋k4k（1＋k） 由题设可得＋8＝12， 2 1＋k解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1. →→ 故圆心C在l上，所以|MN|＝2. 10.已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)＋(y＋1)＝12. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； (2)求直线l被圆C截得的最短弦长. ??y＝kx＋1， 法一 (1)证明 由? 22 ?（x－1）＋（y＋1）＝12，? 2 2 消去y得(k＋1)x－(2－4k)x－7＝0， 因为Δ＝(2－4k)＋28(k＋1)>0， 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点. (2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k|x1－x2| ＝2 8－4k＋11k＝2 2 1＋k22 2 2 22 4k＋311－2， 1＋k4k＋32 令t＝2，则tk－4k＋(t－3)＝0， 1＋k3 当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R， 4 所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0， 4k＋3故t＝7. 2的最大值为4，此时|AB|最小为21＋k法二 (1)证明 因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝5<23＝R，所以点P(0，1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点. (2)解 由平面几何知识知过圆内定点P(0，1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0，1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝212－5＝27，即直线l被圆 C截得的最短弦长为27. 11.(xx·衡水中学月考)两圆x＋y＋2ax＋a－4＝0 和x＋y－4by－1＋4b＝0恰有三条11 公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则2＋2的最小值为( ) 2 2 2 2 2 2 abA.1 2 2 B.3 2 2 1C. 9 2 2 2 4 D. 9 2 2 解析 x＋y＋2ax＋a－4＝0，即(x＋a)＋y＝4，x＋y－4by－1＋4b＝0，即x＋(y－2b)＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和， 则a＋（2b）＝1＋2＝3，即a＋4b＝9， 222 2 2 ?11??a＋4b?＝1?5＋a2＋4b?1?所以2＋2＝?2＋2??2?≥?5＋2??ab?ab??9?9?ba?9? 1 1 即a＝±2b时取等号. 答案 A 2222 a24b2a24b2? ·?＝1，当且仅当2＝2，bab2a2? 12.(xx·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)＋(y－2)＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) 53 A.－或－ 3554C.－或－ 45 32 B.－或－ 2343D.－或－ 34 22 解析 由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝|－3k－2－2k－3|43 ＝1，解得k＝－或k＝－，故选D. 34k2＋1答案 D 13.已知曲线C：x＝－4－y，直线l：x＝6，若对于点A(m，0)，存在C上的点P和l→→ 上的点Q使得AP＋AQ＝0，则m的取值范围为________. 解析 曲线C：x＝－4－y，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且xP∈ →→ [－2，0]，对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的点Q使得AP＋AQ＝0， 说明A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6， 6＋xP∴m＝∈[2，3]. 2答案 [2，3] 14.(xx·湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方. (1)求圆C的方程； (2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 5?|4a＋10|?解 (1)设圆心C(a，0)?a＞－?，则＝2?a＝0或a＝－5(舍). 2?5?所以圆C的方程为x＋y＝4. (2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2， 2 2 22y2)，
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