参考：PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库 参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频 拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料
练习1：（2013年广东省数学（理）卷）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F?0,c??c?0?到直线
l:x?y?2?0的距离为32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B2为切点.
(Ⅰ) 求抛物线C的方程;
(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x2?4cy,由0?c?22?32结合c?0,解得c?1.所2以抛物线C的方程为x?4y.
2121x,求导得y??x 42x12x22,y2?设A?x1,y1?,B?x2,y2?(其中y1?), 4411则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,
22x1x1x12x??y1,即x1x?2y?2y1?0 所以切线PA：y?y1??x?x1?,即y?222同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0
(Ⅱ) 抛物线C的方程为x?4y,即y?2因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1
?x0x?2y?2y0?0222联立方程?2,消去x整理得y??2y0?x0?y?y0?0
?x?4y由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x02?2y0,y1y2?y02
所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y02?x02?2y0?1 又点P?x0,y0?在直线l上,所以x0?y0?2,
21?9?所以y0?x0?2y0?1?2y0?2y0?5?2?y0???
2?2?91所以当y0??时, AF?BF取得最小值,且最小值为.
22222
22练习2：（2013年辽宁数学（理））如图,抛物线C1:x?4y,C2:x??2py?p?0?,点M?x0,y0?在
抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O)x0?1?2,切线MA.的斜率为-1. 2(I)求p的值;(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方.A,B重合于O时,中点为O.
??【答案】
模型三：相交弦过定点
相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。
x2y2例题：如图，已知直线L：x?my?1过椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点F，且交椭圆C于
abA、B两点，点A、B在直线G:x?a2上的射影依次为点D、E。连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、
BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。
2
法一：解：?F(1,0),k?(a,0) 先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，
a2?1a2?1,0)猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(,0) AE与BD相交于FK中点N ,且N(22。
证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),E(a,y2),D(a,y1)，当m变化时首先AE过定点N
22?x?my?12222222??22即(a?bm)y?2mby?b(1?a)?0....8分2222?bx?ay?ab?0??4a2b2(a2?m2b2?1)?0(?a?1)?y1?y2又KAN?2,KEN?a?11?a2?my122a2?1(y1?y2)?my1y22而KAN?KEN??01?a2a2?1(?my1)22a2?1(这是?(y1?y2)?my1y22a2?12mb2b2(1?a2)??(?2)?m?2222a?mba?m2b2(a2?1)?(mb2?mb2)??0)a2?m2b2
∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线 同理可得B、N、D三点共线
a2?1,0)∴AE与BD相交于定点N(2
法2：本题也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得与x轴交点M、N,然后两个坐标相减=0.计算量
也不大。
◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。
x2?y2?1，若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的例题、已知椭圆C：4任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
方法1：点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线l:x?t(t?2)上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。
解：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，由
?y?k1(x?2)消y整理得(1?4k12)x2?16k2x?16k12?4?0 ?22?x?4y?44k116k12?42?8k12则，， y???2和x1是方程的两个根，??2x1?x?112221?4k11?4k11?4k12?8k124k1即点M的坐标为(,)，
1?4k121?4k1228k2?2?4k2同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(,) 221?4k21?4k2?yp?k1(t?2),yp?k2(t?2)
k1?k2y?y1y2?y12??，?直线MN的方程为：?，
k1?k2tx?x1x2?x14xy?xy?令y=0，得x?2112，将点M、N的坐标代入，化简后得：x?
ty1?y2?又?t?2，?0?故当t?4443?2?椭圆的焦点为(3,0)??3，即t? tt343时，MN过椭圆的焦点。 3方法总结：本题由点A1(-2,0)的横坐标－2是方程(1?4k12)x2?16k2x?16k12?4?0的一个根，结合
?y?k2(x?2)4k12?8k12y?韦达定理，得到点M的横纵坐标：x1?，；其实由消y整理得?2121?4k12x?4y?41?4k12?22?4k216k2?48k2?2222y?，得到2x2?，即，很快。不过如x?(1?4k2)x?16k2x?16k2?4?0222221?4k21?4k21?4k216k12?4果看到：将?2x1?中的k1用k2换下来，x1前的系数2用－2换下来，就得点N的坐标
1?4k1228k2?2?4k2(,)，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。221?4k21?4k2
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