一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线y??23243x?x?23与其“衍生直线”交于A、B两点（点A33在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=?2323；（-2，23）；（1,0）； x+33（2）N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）； （3）E（-1，-【解析】 【分析】
（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可 【详解】 （1）∵y??432343103）、F（0，）或E（-1，-），F（-4，）
33332323243，则抛物线的“衍生直线”的解析式为x?x?23，a=?
333
y=?2323； x+33?23243y??x?x?23???x=1?x=-2?33联立两解析式求交点?，解得?或?，
y=0??y=23??y=?23x+23?33?∴A（-2，23），B（1,0）； （2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D， 在y??23243x?x?23中，令y=0可求得x= -3或x=1， 33∴C（-3,0），且A（-2，23），
22∴AC=（-2+3）+（23）=13 由翻折的性质可知AN=AC=13， ∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”， ∴N在y轴上，且AD=2， 在Rt△AND中，由勾股定理可得 DN=AN2-AD2=13-4=3， ∵OD=23，
∴ON=23-3或ON=23+3，
∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；
（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF， ∴∠ ACK=∠ EFH， 在△ ACK和△ EFH中
??ACK=?EFH???AKC=?EHF ?AC=EF?∴△ ACK≌△ EFH，
∴FH=CK=1，HE=AK=23， ∵抛物线的对称轴为x=-1， ∴ F点的横坐标为0或-2， ∵点F在直线AB上，
∴当F点的横坐标为0时，则F（0，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-∴ E（-1，-23），此时点E在直线AB下方， 3234343=，即E的纵坐标为-， 33343）； 3当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去； ②当AC为平行四边形的对角线时， ∵ C（-3,0），且A（-2，23）， ∴线段AC的中点坐标为（-2.5， 3）， 设E（-1，t），F（x，y）， 则x-1=2×（-2.5），y+t=23， ∴x= -4，y=23-t，
23-t=-232343×（-4）+，解得t=-， 33343103），F（-4，）；
334323）、（0，）或E（-1，33∴E（-1，-综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，--43103），F（-4，）
33
【点睛】
本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题
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