高考数学一轮必备 5.4《平面向量的应用》考情分析学案(1)

3?33?得(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝?x，y－b?， 2?22?

??

∴?33

y＝??2y－2b，

x－a＝x，

x3

2

??2∴?yb＝??3.

x?

x?

xa＝－，

把a＝－代入①，得－?x＋?＋3y＝0，

22?2?12

整理得y＝x(x≠0)．

4重难点突破

3??1

【例4】设在平面上有两个向量a＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b＝?－，?.

?22?(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；

(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．

?13?2222

解：(1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|－|b|＝(cosα＋sinα)－?＋?＝0，

?44?

故a＋b与a－b垂直．

(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得 3|a|＋23a·b＋|b|＝|a|－23a·b＋3|b|， 所以2(|a|－|b|)＋43a·b＝0， 而|a|＝|b|，所以a·b＝0，

3?1?则?－?×cos α＋×sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0， 2?2?

∴α＋60°＝k·180°＋90°， 即α＝k·180°＋30°，k∈Z，

又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.

巩固提高

1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )

A．4 B．3 C．2

D．0

2

2

2

2

2

2

解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c， 则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案：D

2．已知m＝(－5,3)，n＝(－1,2)，当(λm＋n)⊥(2n＋m)时，实数λ的值为( )

5

5

A. 83C．－

8

3B．－

163D. 8

解析：由已知得|m|＝34，|n|＝5，m·n＝11，∵(λm＋n)⊥(2n＋m)，∴(λm＋

n)·(2n＋m)＝λm2＋(2λ＋1)m·n＋2n2＝0，即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝

3－. 8

答案：C

3．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大、小值分别是

( )

A．42，0 C．16,0

2

B．4,22 D．4,0

2

2

解析：由于|2a－b|＝4|a|＋|b|－4a·b＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos(θ＋ππ

)，易知0≤8－8cos(θ＋)≤16，故|2a－b|的最大值和最小值分别为4和0. 66

答案：D

uuuruuurruuuruuuruuu4．已知平面上三点A、B、C满足|AB|＝6，|BC|＝8，|CA|＝10，则AB·BC＋uuuruuuruuuruuurBC·CA＋CA·AB的值等于( )

A．100

B．96 D．－96

C．－100

uuuruuuruuur解析：∵|AB|＝6，|BC|＝8，|CA|＝10，

6＋8＝10. ∴△ABC为Rt△.

2

2

2

ruuuruuu即AB·BC＝0.

ruuuruuuruuuruuuuuuruuurAB·BC＋BC·CA＋CA·AB uuuruuuruuuuuuruuuruuur2r＝CA (BC＋AB)＝CA·AC＝－|AC|＝－100.

答案：C

23

5．已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则a＋b与a－b的夹角为( )

3A．30° C．120°

B．60° D．150°

解析：将|a＋b|＝|a－b|两边同时平方得：a·b＝0；

6

23122

将|a－b|＝|a|两边同时平方得：b＝a.

33

a＋b·a－ba2－b21

所以cos 〈a＋b，a－b〉＝＝＝.

|a＋b|·|a－b|422

a3

所以〈a＋b，a－b〉＝60°. 答案：B

7