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1．1.1 算法的概念
(1)利用加减消元法求解一般的二元一次方程组的步骤有哪些？
(2)在数学中算法是如何定义的？
(3)算法的特征是什么？
(4)解决一类问题的算法是唯一的吗？是不是任何一个算法都有明确的结果？
[新知初探]
1．算法的概念
在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． 现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题． 2．算法的特征
(1)确定性：算法中每一步都是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果． (2)有限性：一个算法的步骤是有限的，不能无限地进行下去，它能在有限步的操作后解决问题．
(3)有序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步．
(4)不唯一性：解决一个问题可以有多种不同的算法．
(5)普遍性：给出一个算法的程序步骤，它可以解决一类问题，并且能够多次重复使用．
[小试身手]
灿若寒星
预习课本P2～5，思考并完成以下问题
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1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求解一类问题的算法是唯一的( ) (2)算法必须在有限步骤操作之后解决问题( ) (3)算法执行后一定产生确定的结果( )
解析：由算法具有有限性、确定性和不唯一性可知(1)错，(2)、(3)对． 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．下列叙述不能称为算法的是( )
A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海 B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1 C．利用公式S＝πr计算半径为2的圆的面积得π×2 D．解方程x－2x＋1＝0
解析：选D 选项A，B给出了解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算，也属于算法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．
3．下面是某人出家门先打车去火车站，再坐火车去北京的一个算法，请补充完整． 第一步，出家门．
第二步，________________. 第三步，坐火车去北京． 答案：打车去火车站
算法概念的理解 [典例] 下列说法正确的是( ) A．算法就是某个问题的解题过程 B．算法执行后可以产生不同的结果
C．解决某一个具体问题算法不同，则结果不同 D．算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施
[解析] 选项B正确，例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A，算法不能等同于解法；选项C，解决某一个具体问题算法不同，但结果应相同；选项D，算法可以为很多次，但不可以无限次．
[答案] B
算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．
灿若寒星
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[活学活用]
有人对哥德巴赫猜想“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤：
第一步，检验6＝3＋3. 第二步，检验8＝3＋5. 第三步，检验10＝5＋5. ……
利用计算机一直进行下去！
请问：利用这种步骤能够证明猜想的正确性吗？这是一个算法吗？
解：利用这种步骤不能证明猜想的正确性．此步骤不满足算法的有限性，因此不是算法.
算法的设计 [典例] 写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法． [解] 法一：第一步，计算1＋2得到3.
第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6. 第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10. 第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15. 第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21.
法二：第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7. 第二步，计算3×7.
设计具体问题的算法的一般步骤
(1)分析问题，找出解决问题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来． [活学活用]
1．求1×3×5×7×9×11的值的一个算法如下，请补充完整． 第一步，求1×3得结果3.
第二步，将第一步所得结果3乘以5，得到结果15.
第三步，_________________________________________________________________. 第四步，再将第三步所得结果105乘以9，得到结果945.
第五步，再将第四步所得结果945乘以11，得到结果10 395，即为最后结果．
灿若寒星
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解析：依据算法功能可知，第三步应为“再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105”． 答案：再将第二步所得结果15乘以7，得到结果105 2．写出解方程x－2x－3＝0的一个算法． 解：法一：第一步，移项得x－2x＝3.①
第二步，①式两边同时加1，并配方得(x－1)＝4.② 第三步，②式两边开方，得x－1＝±2.③ 第四步，解③式得x1＝3，x2＝－1.
法二：第一步，计算出一元二次方程的判别式的值，并判断其符号．显然Δ＝(－2)－4×1×(－3)＝16>0.
－b±b－4ac第二步，将a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x1,2＝，得x1＝3，x2
2a＝－1.
[层级一 学业水平达标]
1．下列关于算法的说法中正确的个数有( )
①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③x－x＞2是一个算法；④算法执行后一定产生确定的结果．
A．1 C．3
B．2 D．4
2
2
2
2
2
2
解析：选B 依据算法的多样性(不唯一性)知①错误；由算法的有限性，确定性知②④正确；因为x－x＞2仅仅是一个数学问题，不能表达一个算法，所以③是错误的；由于算法具有可执行性，正确的有②④.
2．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：( ) ①计算c＝a＋b；②输入直角三角形两直角边长a，b的值；③输出斜边长c的值．其中正确的顺序是( )
A．①②③ C．①③②
B．②③① D．②①③
2
2
2
解析：选D 明确各步骤间的关系即可知D选项正确． 3．下列叙述中，
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；
②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…99＋1＝100； ③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州； ④3x＞x＋1；
灿若寒星
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