三角函数
（一）任意角的三角函数及诱导公式
1. 任意角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边， OB 叫终边， 射线的端点O 叫做叫的顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2. 象限角、终边相同的角、区间角
角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差 2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}， 根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α| ≤α≤ 5 6
}=[ ， 5 6
]。
3. 弧度制
6 6
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角，记作 1 rad ，或 1 弧度，或 1(单位可以省略不写)。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。
角的弧度数的绝对值是：
r ? 180 °≈57.30°=57°18ˊ； 角度制与弧度制的换算主要抓住180? rad 。弧度与角度互换公式：1rad＝
??
l
，其中，l 是圆心角所对的弧长， r 是半径。
1 ° ＝ ≈ 0.01745 （ rad ）。 弧 长 公 式 ： l ?|
| r （ 是 圆 心 角 的 弧 度 数 ）；
扇 形 面 积 公 式 ：
180
1 1
S ? l r ? |2 2
| r 2 。
的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角
2 22
2
4 三角函数的定义:以角的终边上任取一个异于原点
的点 P(x, y) ，点 P 到原点的距离记为 r(r ? | x |? | y | ? x? y
? 0) ，那么
r
? ）
y
sin
y
? ； cosr x
? ； tanr y
? ； （ cotx x
? ； secy r
? ； csc
x
利用单位圆定义任意角的三角函数，设
是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x, y) ,那么:
(1) y 叫做（2） x 叫做
的正弦,记做sin的余弦,记做cos
,即sin,即cos
? y ；
sincostan Ⅰ + + + + Ⅱ + － － － Ⅲ － － + + Ⅳ － + － － ? x ；
y y (x ? 0) 。 （3） 叫做的正切,记做tan,即tan??x x
5 三角函数的符号：
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们 可 以 得 知 ： ① 正 弦 值
对 于 第 一 、 二 象 限 为 正 cotr
y
（ y ? 0, r ? 0 ），对于第三、四象限为负（ y ? 0, r ? 0 ）；
1
a 角 的 终 P T ② 余弦值 对于第一、四象限为正（ x ? 0, r ? 0 ），对于第二、三象限为负 （ x ? 0, r ? 0 ）；③正切值 对于第一、三象限为正（ x, y 同号），对于第二、四象
O x
r
M A x y x
限为负（ x, y 异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
6．三角函数线
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。
利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。
以坐标原点为圆心，以单位长度 1 为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是 1 厘米或 1 米）。当角
为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点 P(x, y) ，过点 P 作 PM ? x 轴交 x 轴于点 M ，
根据三角函数的定义：| MP |?| y |?| sin| ；| OM |?| x |?| cos|。
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以O 为始点、 M 为终点，规定：
当线段OM 与 x 轴同向时， OM 的方向为正向，且有正值 x ；当线段OM 与 x 轴反向时， OM 的方向为负向， 且有负值 x ；其中 x 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有OM ? x ? cos
同理,当角的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点，
规定：当线段 MP 与 y 轴同向时， MP 的方向为正向，且有正值 y ；当线段 MP 与 y 轴反向时， MP 的方向为负
向，且有负值 y ；其中 y 为 P 点的横坐标。
这样,无论那种情况都有 MP ? y ? sin
。像 MP、OM 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。
的终边交于点T ,请根据正切函数的定
如上图,过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于 y 轴,设它与义与相似三角形的知识,借助有向线段OA、AT ,我们有tan
? AT ??
y x
的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角
我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT ,分别叫做角函数线。
6. 同角三角函数关系式
sin2α+cos2α=1（平方关系）；
sin
=tanα（商数关系）； cos
tanαcotα=1（倒数关系）.
使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。几个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示)
同理可以由 sinα－cosα或 sinα·cosα推出其余两式。
7. 诱导公式
可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。 诱导公式一： sin(
诱导公式二： sin(180?
o
? 2k) ? sin) ? ?sin
；
， cos(? 2k
o
) ? cos，其中 k ? Z
； cos(180?) ? ? cos
诱导公式三： sin(?) ? ?sincos(?) ? cos
2
诱导公式四： sin(180?) ? sin
o ； cos(180?) ? ?cos； cos(360?) ? coso o 2k?诱导公式五： sin(360?) ? ?sin
o sin cos
－－sincos ? sin－cos? －sin－cos2? ?k ? Z ??sincos o
－sincos ? 2 cos sin （）1
要化的角的形式为 k ?180?（ k 为常整数）； 记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)；
（）2 （）3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??（4） sin ? x ? ? ? cos? ? x ? ? cos? x ? ? ； cos? x ? ? ? sin ? ? x ? 。
4 ? 4 4 ? ? 4 ? ? ??? ? ? 4 ??
（二）三角函数的图像与性质
1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
?
?
??
y=sinx
-4??-7? -3? 2
-5? 2
?
-2? -3? -? 2
y ? - 1 2
3?? 2
2? 5? 3? 2
7? 2
4??
o ? -1 2 y
??
x
y=cosx
-5?
?
???
-3??-4??-7? 2
2 -2??-3?
2
? - 1 -??2
??3??2 2? 5??
2 y
7??3??2 4??x
o ??-1 2
y=tanx y y=cotx
3??- 2? -? - 2 o ??2 ? 3?? 2 x -????- 2o ? 2 ??3? 2 2?? x 2. 三角函数的定义域、值域及周期如下表： 定义域 R R 函数 y ? sin x y ? cos x y ? tan x 值域 [?1,1] [?1,1] 周期 2 2 {x | x ? k? k ? Z} , 2 R
3. 三角函数的单调区间：
3
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