2.倒立摆控制系统
本系统内部各相关参数定义如下：
M 小车质量； m 摆杆质量； b 小车摩擦系数； l 摆杆转动轴心到杆
质心的长度； I 摆杆惯量； F 加在小车上的力； x 小车位置； ? 摆杆与垂直向上方向的夹角； ? 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。 由图可知，
?????，故cos???cos?,sin???sin?
应用Newton方法来建立系统的动力学方程如下。 （1）分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程
Mx?F?bx?N
d2N?m2(x?lsin?)
dtN?mx?ml?cos??ml?sin?
(2)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式
即
（3）把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程
(M?m)x?bx?ml?cos??ml?2sin??F ①
(4)为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程
即
d2P?mg??m2(lcos?)
dtP?mg?ml?sin??ml?2cos? ?Plsin??Nlcos??I?
力矩平衡方程如下：
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程
(I?ml2)??mglsin???mlxcos? ②
微分方程模型 设 4. （2）
6.
（1）在matlab中作出未校正系统幅频响应曲线
得到如下图形：
由图可知，X=1，Y=10可能是测量原因引起的错误点，忽略其影响。 （1.1）最低频率处的?20dB/decade，所以系统包含一个积分项。 （1.2）在w=1处，20lgk0?40,k0?100。
（1.3）经计算w=3为一个拐点，有?20dB/decade的变化，故系统包含
11s?13。
100估计G(s)?。
1s(s?1)3（2）
（2.1）根据稳态性能要求，确定系统开环增益K。
1在单位斜坡信号作用下，系统的稳态误差ess??0.01，可得
KK?100s?1，取K=100s?1。
（2.2）对未校正系统做Bode图
得到未校正前系统的Bode图：
未校正前，GM?46.3dB,PM?9.91deg.
不满足PM?45的要求。 （2.3）所需补偿角m??(45?9.9)?(1?10%)?40
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