《高等数学二》期末复习题及答案-28171462418361700

?Sn?111 ??...?1?22?3n(n?1)11111?(1?)?(?)?...?(?)

223nn?1?1?1 n?11)?1 n?1?limSn?lim(1?n??n??所以级数

1的和为1 ?n?1n(n?1)?

11、（本题满分12分）

解：设F(x,y,z)?x2?y2?z2?14 则Fx?2x ，Fy?2y ，Fz?2z

?对应的切平面法向量

n?(Fx,Fy,Fz)(1,2,3)

代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6） 则切平面方程：2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0

或x?2y?3z?14?0

12、（本题满分12分） 解：因为

?z2x?y?zx?2y ?2；??xx?xy?y2?yx2?xy?y2?z?z2x2?xy?xy?2y2所以 x??y???2 22?x?yx?xy?y13、（本题满分12分）

解：令??x??cos????，则D??(?,?)0???,0???1?，

4???y??sin??22401所以

2??(1?x?y)dxdy??d??0(1??)?d??D? 1614、（本题满分12分）

W??F?dsL??

??L11?x4dx?ydy?dz??(?t?2t)dt010

??tdt

?1 215、（本题满分10分） 解： 设un?nsin1 nsin于是 limun?limn??n??1n1n?1?0

故

?un?1?n发散。

16、（本题满分20分）

?x?t?1?解：直线L的参数方程为?y?t?3

?z?2t???所求直线的方向向量为s?(t,t?3,2t?4)与平面?的法向量n?(3,?4,1)垂直，即 3t?4(t?3)?(2t?4)?0得t?16

?s?(16,19,28)

所求直线为

x?1yz?4??

16192817、（本题满分20分）

?解：设点M(x0,y0,z0)为所求的点，则椭球面在M点处的法向量n?(2x0,4y0,6z0)，

切平面的方程为x0x?2y0y?3z0z?21

???直线L的方向向量s?(2,1,?2)，由已知条件得n?s，即

??n?s?(2x0,4y0,6z0)?(2,1,?2)?4x0?4y0?12z0?0

而直线L上的点(6,3,1)必在切平面上，因此6x0?6y0?3z0?21，

而点M(x0,y0,z0)在椭球面x2?2y2?3z2?21上，即x02?2y02?3z02?21 解得x0?0,y0?3,z0?1 和 x0?4,y0??1,z0?1，即点M为(0,3,1) 或 (4,?1,1). 18、（本题满分12分）

解：记D1为积分区域在第一象限的部分，则由奇偶对称性，

I?4??xydxdy=4?xdx?D111?x001(1?x)21ydy?4?xdx?2?(x?2x2?x3)dx?

0026119、（本题满分12分）

?Fx?z?y?设F?yz?zx?xy?1，则有?Fy?z?x

??Fz?y?x?F?zz?y ??x???xFzy?xFy?zz?x ??????yFzy?x?dz??1[(y?z)dx?(x?z)dy] x?y20、（本题满分12分） 解：等式两端求微分得：

?ydzzdx?xdzzzdye??0 e??22zzxzy于是dz?zexzxzyzdx?zexzyzyzdy

xe?yezexzxzyzxe?yezexzyz所以zx?，zy?xe?yexe?yeyz

21、（本题满分10分）解：交换积分次序可得

?102x1dx?cosx2dy?sin1

x2