二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分 基础知识
1.定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数.
2.二次函数y?ax2的性质
（1）抛物线y?ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.
（2）函数y?ax2的图像与a的符号关系.
①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；
②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y?ax2（a?0）.
3.二次函数 y?ax2?bx?c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.
4.二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中
2b4ac?b2h??，k?.
2a4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；
2④y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.
26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
b4ac?b2b?4ac?b2?2（?，） （1）公式法：y?ax?bx?c?a?x???，∴顶点是，对称
2a4a2a?4a?2轴是直线x??b. 2a2 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶
点为(h,k)，对称轴是直线x?h.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连
线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9.抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax2中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax2?bx?c的对称轴是直线
bb
，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴在y2aa
b轴左侧；③?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.
ax?? （3）c的大小决定抛物线y?ax2?bx?c与y轴交点的位置.
当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax2?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）：
①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半
轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则
b?0. a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当a?0时 x?0（y轴） （0,0） 开口向上 x?0（y轴） (0, k) 当a?0时 (h,0) 开口向下 (h,k) b4ac?b2(?，) 2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?.
12.直线与抛物线的交点
（1）y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).
（2）与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点
(h,ah2?bh?c).
（3）抛物线与x轴的交点
二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二
次方程ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切；
③没有交点???0?抛物线与x轴相离.
（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐
标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根.
（5）一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图像G的交
点，由方程组 y?kx?ny?ax2?bx?c的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时
?l与G没有交点.
（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为
A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故
bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?24cb2?4ac??b??4x1x2???????第
aaaa??2二部分 典型习题
１.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是 （ D ）
A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3）
２.已知二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）
Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0
第２,３题图 第4题图
３.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ）
A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0
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