特殊元素有
A2种,再排后4个位置上的特殊元素丙有A144种,其余的5人在
5个位置上任意排列有A55种,则共有
A2154A4A5种
前 排后 排
八.排列组合混合问题先选后排策略
【例11】有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？
分析：解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似。
解答：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C25种方法.再把4个
元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A44种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C25A44 九.小集团问题先整体后局部策略
【例12】用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
分析：小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
解答：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有
A22种排法，再排小
集团内部共有
A2222A2种排法，由分步计数原理共有A222A2A2种排法.
十.元素相同问题隔板策略
【例13】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
分析：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
Cm?1n?1。
解答：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给
７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C69种分法。
一二三四五六七班班班班班班班
十一.正难则反总体淘汰策略
【例14】从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？
分析：有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
解答：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C35,只含有1个偶数的取法有C12125C5,和为偶数的取法共有C5C5?C35。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C125C5?C35?9
十二、合理分类与分步策略
【例15】在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法？ 分析：解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
解答：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱 12
歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C223C3种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员C1125C3C4种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有
C225C5种，由分类计数原理共有
C22112223C3?C5C3C4?C5C5种。
十三、构造模型策略 【例16】马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
分析：一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决。
解答：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C35 种。
十四、实际操作穷举策略
【例17】设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？
分析：对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果。
解答：从5个球中取出2个与盒子对号有C25种还剩下3球3盒序号不能
对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C25种。
十五、复杂分类问题表格策略
【例18】有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法？
分析：一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果。
解答：
红 1 1 1 2 2 3 黄 1 2 3 1 2 1 兰 3 2 1 2 1 1 取法 C1C1121313154 C5C4 C5C4 C25C3 C25C23 C5C2
排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
点评：排列组合题的特点是条件隐晦，题目多变，只有对基本的解题策略熟练掌握，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
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专题3 二项式定理及其应用
1n【例19】已知(?2x)的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，
4求展式中二项式系数最大的项的系数．
解答：11．已知(3x?x)22nn
的展开式的二
项式系数和比(3x?1)的展开式的系数和大992,求(2x?由
012Cn?Cn?Cn?37,得
11?n?n(n?1)?37216，得
n?8．T5?C8415(2x)5?35x5，该项的系数最大，为35．
416 【例20】规定Cx12n)的展开式xx(x?1)?(x?m?1)，其中x∈R，m是正整
m!0m数，且Cx?1，这是组合数Cn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推
m?广．
(1) 求C?15的值；
(2) 设x>０，当x为何值时，(C1)2取得最小值？
x(3) 组合数的两个性质；
m（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证Cx3
Cx
3①Cnmn?m. ?Cn ②Cnmm?1m?Cn?Cn?1.是否都能推广到
中:（1）二项式系数最大的项;
（2）系数的绝对值最大的项.
mn12
12.在二项式（ax+bx）（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项. （1）求它是第几项； （2）求
明；若不能，则说明理由.
分析：本题看似很难，实则读懂题意很简单。
a的最值. b 解答：(1)C3?(?15)(?16)(?17)??680 .
?153!3 (2) Cx(C)12x?x(x?1)(x?2)12
?(x??3)26x6x
11.解：由题意2n?5。
2n?2n?992,解得
∵ x > 0 , x?∴
3Cx当x?2时，2(C1x)2?22 .当且仅当x?x2时，等号成立. （1）(2x?110)的展开式中第6x取得最小值.
项的二项式系数最大,
即
（3）性质①不能推广，例如当x无意义;
?2时，C12有定义，但C2?1215T6?T5?1?C10?(2x)5?(?)5??8064x.
（2）设第r?1项的系数的绝对值最大, 则
mm?1m，x?R , m是正 性质②能推广，它的推广形式是Cx?Cx?Cx?1整数.
01事实上，当m＝１时，有C1. x?Cx?x?1?Cx?11rrTr?1?C10?(2x)10?r?(?)r?(?1)r?C10?210?r?xx
r10?rr?1??C10?210?r?1?C10?2∴?,得
r10?rr?110?r?1??C10?2?C10?2rr?1??C10?2C10,即?rr?1?2C?C10?10?11?r?2r ?2(r?1)?10?r?811 ∴?r?,∴r?3,故系数
33当m≥２时.C?Cmxm?1xx(x?1)?(x?m?1)x(x?1)?(x?m?2) ??m!(m?1)!
?x(x?1)?(x?m?2)?x?m?1??1??(m?1)!?m??x(x?1)?(x?m?2)(x?1)m!m?Cx?1．
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点评：二项式定理是排列组合知识的具体运用，定理的证明是计数原理的应用。 的绝对值最大的是第4项. 12.解：（1）设Tr?1=C12（ax）·（bx）rrm12－rnbxm（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项. =C12a（2）∵第5项又是系数最大的项， C12ab≥C12ab① C12ab≥C12ab② 484r12－rr484393∴575由①得12?11?10?984ab≥4?3?212?11?1093ab， 3?2∵a＞0，b＞0，∴≤a9 b≥a，即4b9. 4由②得8aa8≥，∴≤≤55bb9. 4 故a的最大值、最小值分别为b98、. 45 思想方法 领悟思想〃游刃有余 一、函数与方程思想 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系； 函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；mn*思想归纳 高屋建瓴 方法实践〃学练结合 1. 若1n?12n?2n?1Sn?2n?Cn2?Cn2???Cn2?1(n?N?)求证：当n为偶数时，Sn?4n?1能被64整除 ． nn1. 证明：Sn?(2?1)?3， ∵n为偶数，设n?2k(k?N?)， ∴Sn?4n?1?9k?8k?1?(8?1)k?8k?1?(Ck8k? (?) k当k?1时，9?8k?1?0，显然Sn?4n?1能被64整除； 当k≥2时，(?)式能被64整除． ∴n为偶数时，Sn?4n?1能被64整除． 【例1】设f(x)=(1+x)+(1+x)(m、n?N)，若其展开式中，关于x的2一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x项的系数取最小值，并求出这个最小值。2 分析：本题先将含x项的系数的方程写出来，再利用求函数最值的方法 15
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