人教版九年级上册第二十二章二次函数数学二次函数图像与性质完整归纳

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二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?0，0? ?0，0? y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． a?0 向下 y轴 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. y?ax2?c的性质： 上加下减。 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?0，c? ?0，c? y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． a?0

向下 y轴 x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值c． 3. y?a?x?h?的性质：

左加右减。 a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?h，0? X=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． a?0

向下 ?h，0? X=h 4. y?a?x?h??k的性质： a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?h，k? ?h，k? X=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． a?0 向下 X=h 1 / 5

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二、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

k?；方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h， k?处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位2y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴y?ax?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax?bx?c变成

22y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）

⑵y?ax?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax?bx?c变成

22y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c）

三、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较

从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配b?4ac?b2b4ac?b2?方可以得到前者，即y?a?x???，其中h??，． k?2a?4a2a4a?222四、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定

其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们

c?、c?、以及?0，c?关于对称轴对称的点?2h，选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 0?，?x2，与x轴的交点?x1，画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

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五、二次函数y?ax2?bx?c的性质

?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．

2a4a2a??当x??bbb时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当x??2a2a2a4ac?b2时，y有最小值．

4a?b4ac?b2?b 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．当

2a4a2a??x??bbb时，y随x的增大而增大；当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y2a2a2a4ac?b2有最大值．

4a

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；

3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写

成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．

⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，

当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?

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b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a