课时作业58

课时作业(五十八)

一、选择题

1－3i

1．(2011年天津高考)i是虚数单位，复数＝( )

1－iA．2＋i C．－1＋2i

1－3i?1－3i??1＋i?解析：＝＝2－i.

1－i?1－i??1＋i?答案：B

5i

2．(2011年高考新课标卷)复数＝( )

1－2iA．2－i C．－2＋i

B．1－2i D．－1＋2i B．2－i D．－1－2i

5i?1＋2i?5i

解析：＝＝－2＋i.

1－2i?1－2i??1＋2i?答案：C

3．(2011年浙江高考)若复数z＝1＋i，i为虚数单位，则(1＋z)·z＝( ) A．1＋3i C．3－i

解析：(1＋z)z＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i. 答案：A

4．(2011年江西高考)若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( ) A．－2＋i C．1－2i

解析：由已知xi＋1＝y＋2i， ∴x＝2，y＝1， ∴x＋yi＝2＋i. 答案：B

5．(2010年浙江高考)对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )

A．|z－z|＝2y C．|z－z|≥2x

B．z2＝x2＋y2 D．|z|≤|x|＋|y| B．2＋i D．1＋2i B．3＋3i D．3

解析：对于A：|z－z|＝|2yi|＝2|y|≠2y，对于B：z2＝x2－y2＋2xyi≠x2＋y2，对于C：|z－z|＝2|y|≥2x不一定成立，对于D：|z|＝x2＋y2≤|x|＋|y|成立．

答案：D

3＋i

6．(2010年全国高考课标卷)已知复数z＝，z是z的共轭复数，则z·z＝( )

?1－3i?21

A. 4C．1 解析：∵z＝＝

1

B. 2D．2

3＋i3＋i

＝

?1－3i?21－23i＋3i2

3＋i?3＋i??－2＋23i?

＝

－2－23i?－2－23i??－2＋23i?3i3i＋，∴z＝－－. 4444

3i3i311

－)(－＋)＝＋＝. 444416164

＝－∴z·z＝(－答案：A 二、填空题

7．(2010年上海高考)若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，则z·z＋z＝________. 解析：z·z＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i＝5＋1－2i＝6－2i. 答案：6－2i

2－i

8．(2011年东城区3月综合练习)复数z＝＝________；其所确定的点Z位于复平面

1＋i的第________象限．

2－i1313

解析：z＝＝－i，对应点为(，－)，在第四象限．

221＋i2213

答案：－i 四

22

3＋i

9．(2011年杭州市高三第二次质检)已知i是虚数单位，z＝，则|z|＝________.

1－3i?3＋i??1＋3i?

解析：z＝＝i，所以|z|＝1.

1＋3答案：1 三、解答题

z

10．已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对

2－i应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

解：设z＝x＋yi(x、y∈R)， ∴z＋2i＝x＋(y＋2)i， 由题意得y＝－2.

x－2i1z＝＝(x－2i)(2＋i) 2－i2－i511

＝(2x＋2)＋(x－4)i. 55

由题意得x＝4，∴z＝4－2i. ∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，

2

??12＋4a－a>0

根据条件，可知?，

?8?a－2?>0?

解得2

∴实数a的取值范围是(2,6)．

11．求已知m∈R，若方程x2＋ix＋m＝0有实根，求m的取值范围． 解：设方程x2＋ix＋m＝0的实根为x0，则 x02＋ix0＋m＝0，即(x02＋m)＋ix0＝0.

2

??x0＋m＝0

由复数相等的定义知?故m＝0.

??x0＝0，

12．已知关于x的方程：x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b. (1)求实数a，b的值；

(2)若复数z满足|z－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值． 解：(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根， ∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，

2

??b－6b＋9＝0，∴?解得a＝b＝3. ??a＝b，

(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－3－3i|＝2|z|， 得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，

即(x＋1)＋(y－1)＝8，

∴z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，22为半径的圆，如图所示， 如图，当z点在OO1的连线上时， |z|有最大值或最小值， ∵|OO1|＝2， 半径r＝22， ∴当z＝1－i时， |z|有最小值且|z|min＝2. [热点预测]

2－i13．(1)(2011年江苏省泰兴重点中学第二次检测)复数实部与虚部之和为( )

1＋iA．－1 C．1

B．－2 D．2

2

2

(2)设复数z满足关系z＋|z|＝2＋i，那么z等于( ) 3

A.＋i 4

3

C．－－i

4

3

B．－＋i

43D.－i 4

2－i?2－i??1－i?1－3i13i13

解析：(1)＝＝＝－，实部和虚部分别为，－，则实部与虚部

222221＋i?1＋i??1－i?之和为－1，选A.

(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋bi＋a2＋b2＝2＋i，由复数相等的充要条件，得b＝1，a＋a2＋b2＝2，将b＝1代入a＋a2＋b2＝2，得a2＋1＝2－a，两边同时平方，得a2＋13

＝4－4a＋a2，解得a＝. 4

答案：(1)A (2)A 【备选题】

1．(2011年银川一中高三第五次月考)设a是实数，且1

A. 2C．1

B．－1 D．2

1＋2ia＋是实数，则a＝( )

21＋i

a?1－i?1＋2ia＋12－a

解析：＋＝＋i为实数，∴a＝2，选D.

2222答案：D

2．若(a－2i)i＝b－i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则ai3b等于( ) A．1 5

C. 2

B．2 D．5

解析：∵(a－2i)i＝b－i，∴2＋ai＝b－i. ∴a＝－1，b＝2.于是ai3b＝－i6＝－i2＝1. 答案：A

3．(2010年北京高考)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A．4＋8i C．2＋4i

6＋5i＋?－2＋3i?解析：＝2＋4i

2答案：C

i＋z2

4．(2011年佛山模拟)已知z1＝2＋i，z2＝1－3i，则复数的虚部为________．

z1i＋z2i＋1－3i?1－2i??2－i?解析：＝＝＝－i，故虚部为－1.

z152＋i答案：－1

B．8＋2i D．4＋i

→

5．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C.若OC→→

＝xOA＋yOB，则x＋y的值是________．

→→→

解析：OC＝xOA＋yOB得(3－2i)＝x(－1＋2i)＋y(1－i)＝(－x＋y)＋(2x－y)i，

???－x＋y＝3，?x＝1，∴? 解得?故x＋y＝5. ?2x－y＝－2.???y＝4，

答案：5