北京市海淀区2016届高三上学期期末考试数学（理）试题含解析

若

3?3，则m?0，与m?0矛盾，矛盾， 1?m2|PQ|?3. |AP|所以不存在直线AP，使得

法三：假设存在点P，使得

|y||AQ||PQ|?4，得Q?4. ?3，则

|AP||AP||yP|显然直线AP的斜率不为零，设直线AP的方程为x?my?4，

?x?my?4?由?x2y2，得(m2?4)y2?8my?0, ?16?4?1?由??64m2?0得m?0，

8m. 2m?48m同理可得yQ?2，

m?1所以yP?m2?4?4得2?4， 所以由

|yP|m?1则m?0，与m?0矛盾， 所以不存在直线AP，使得【答案】见解析

20. （本小题满分13分）

若实数数列{an}满足an?2?an?1?an(n?N*)，则称数列{an}为“P数列”. （Ⅰ）若数列{an}是P数列，且a1?0,a4?1，求a3，a5的值；

(Ⅱ) 求证：若数列{an}是P数列，则{an}的项不可能全是正数，也不可能全是负数； (Ⅲ) 若数列{an}为P数列，且{an}中不含值为零的项，记{an}前2016项中值为负数的项的

个数为m，求m所有可能取值.

【考点】数列综合应用

【试题解析】 解：

|yQ||PQ|?3. |AP|（Ⅰ）因为{an}是P数列，且a1?0， 所以a3?|a2|?a0?|a2|，

所以a4?a3?a2?a2?a2, 所以a2?a2?1，解得a2??所以a3?1,

211,a5?|a4|?a3?. 22

(Ⅱ) 假设P数列{an}的项都是正数，即an?0,an?1?0,an?2?0，

所以an?2?an?1?an，an?3?an?2?an?1??an?0，与假设矛盾. 故P数列{an}的项不可能全是正数, 假设P数列{an}的项都是负数，

则an?0,而an?2?an?1?an?0,与假设矛盾, 故P数列{an}的项不可能全是负数.

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知P数列{an}中项既有负数也有正数， 且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数. 因此存在最小的正整数k满足ak?0,ak?1?0（k?5）. 设ak??a,ak?1?b(a,b?0)，则

ak?2?b?a,ak?3?a,ak?4??b,ak?5?b?a.

ak?6?b?a?b,ak?7?b?a?a,ak?8?a?b,ak?9??a,ak?10?b,

故有ak?ak?9, 即数列{an}是周期为9的数列

由上可知ak,ak?1,???,ak?8这9项中ak,ak?4为负数，ak?5,ak?8这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数. 因为2016?9?224,

所以当k?1时，m?224?3?672;

当2?k?5时，a1,a2,???,ak?1这k?1项中至多有一项为负数，而且负数项只能是ak?1,

记ak,ak?1,???,a2016这2007?k项中负数项的个数为t，

当k?2,3,4时，若ak?1?0,则b?ak?1?ak?ak?1?ak?a，故ak?8为负数， 此时t?671，m?671+1=672；

若ak?1?0,则b?ak?1?ak?ak?1?ak?a，故ak?5为负数. 此时t?672，m?672，

当k?5时，ak?1必须为负数，t?671，m?672, 综上可知m的取值集合为{672}. 【答案】见解析