GCT数学2003-2011年真题与答案解析 Page 41 of 80
?31?2??的特征值，则当t?（ ）时，矩阵A可对角化。?t?1t24．1与?1是矩阵A?? ???41?3???A．2 B．1 C．0 D．?1
?11????25．设A??01?1?，b?（?1 ?1 ?）T，则当??（ ）时，方程组AX?b无解。
?1?2?1??A．1 ?B．2 C．?1 D．?2
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2007年GCT入学资格考试数学基础能力试题
参考答案与解析
1．【答案】D
12【解析】分子为12?22?32?42?52?62?72?82?92?10??3?7?11?15?1 9?21?(1?28)0
分母是一个首项为2=1，公比为2的等比数列，求和得： ?(?3?19)??55；?225。
1?2?5511题中原等式=??，故应选D。
255512．【答案】B 【解析】总的组合数为2?2?2?2?24?16，也即子集数为16个。都出现即为该集合本身，都不出现即为空集?。故正确答案为B。
3．【答案】C
?x?y?2?0【解析】x?y?2≥0,x?2y≥0；又x?y?2?x?2y=0，则有?，解
x?2y?0??x?4得?，故应选C。
y??2?4．【答案】B
【解析】上下对应的长方形底边相等，左右对应的长方形侧边相等。则上下或左右长方
915912形面积比相等。即?或?（x为第4个小长方形的面积），得到x=20，故应选B。
12x15x5．【答案】A
【解析】h=12?4=8cm，l=12?2=10cm，则量杯的底面圆直径2r?l?h?6cm，即r=3cm。量杯的体积为：?r2h?32?8??72?，故应选A。
6．【答案】C
vt【解析】因为s=vt，所以甲?乙（当s不变时）。从A区到B
v乙t甲224122lh2r
区，甲需用30min，乙需用40min，则v甲/v乙?40/30=4/3。乙比甲早出发5min去B区，设甲出发经t分钟可以追上乙，因路程相同，v甲/v乙?7．【答案】A
【解析】在Rt△ABF中，AB =2CD且?ABF=30°，则BF? 5?t?4/3，则t=15，故应选C。 tABC2D43??CD；
cos∠ABFcos30?3又在Rt△EBF中，?BFE=45°，BE?BF?sin∠BFE?
26CD；在Rt△BEC中，?BCE=60°，3GCT数学2003-2011年真题与答案解析 Page 43 of 80
42CDEC42BE423??，故应选A。 CE??CD；在Rt△CDE中，tan∠CDE?CDCD3sin60?38．【答案】B
【解析】复数z =i+i2+i2?i+i2?i2+i2?i2?i+i2?i2?i2+i2?i2?i2?i=i?1?i+1+i?1?i=?1，则z?i??1?i
?(?1)2?12?2，故应选B。
9．【答案】D
【解析】设事件A为“其中一个报警器发出信号”，事件B为“另一个报警器发出信号”，则P(A)=0.95，P(B)=0.92。事件A、B至少有一个发生的对立事件为两个均不发生，此事件的概率为：1?[1?P(A)][1?P(B)]=1?(1?0.95)?(1?0.92)=0.996。故应选D。
10．【答案】D
?a?b?3【解析】a、b是方程x2?3x+1=0的两个不等实根，由韦达定理得?。因
ab??1?22b2a2a3?b3(a?b)[a2?ab?b2]a(?b)[(a?b)?ab3]?3[3??3?(1)]故应???????36，
abababab?1选D。
本题不必求出a，b，直接利用根与系数的关系更为简便易行。 11．【答案】C
【解析】48支足球队，等分为8组，则每组6支足球队。每组内部的比赛场次可用下述两种方法计算，一是先拿出1支球队，剩下的5支球队要与它比赛，共有5场；再选出1支，剩下的4支球队要与它比赛，共有4场，依此类推，总共场数为5+4+3+2+1=15；二是排列组合方法选择，共有组合CCC种，并要不考虑选择的顺序，除以排列数
222642A3，即
3 CCC/A=15。每组要比15场，共有8组，则初赛的场次共有8?15=120场，故应选C。
2223364212．【答案】A
x?1mnm(x?2)?n(x?1) ???(x?1)(x?2)x2?3x?2x?1x?2?m?n?1?m??2(m?n)x?(2m?n)恒成立，即对应系数相等，即，解得，故应选A。 ???2m?n??1n?3x2?3x?2??【解析】当x??1和x??2时，
13．【答案】B
【解析】a?b的结果是a与b中的较大者，a?b的结果则取较小
者，则算式（5?7）?5=5，（5?7）?7=7，故应选B。
14．【答案】B
DB300°3【解析】在△ABC中，?A:?B:?C=3:2:7且?A+?B+?C=180°，
60°32故有?A=?180°=45°，?B=?180°=30°，
3?2?73?2?75°5°747AC（E） ?C=?180°=105°。考虑临界位置，即C与E重合，此时
3?2?7由于?ADE=60°，则?ACD=75°，?DCB=30°，且得到DC=DB。在△ACD中，因为75°? 45°，
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1??1所以AD?DC=DB。S△BCD=BD?BC?sin30°??AB?BC?sin30?S△ABC 。又因?ADE=60°
2??2恒成立，欲使DE分△ABC为面积相等的两块，DE应向左下方平移，即射线l不过C点而与AC相交，故应选B。
15．【答案】C
y22（x?3）?（y?4）?22，即圆【解析】圆的方程可化为：心为O'（3，4），半径为2，整个圆处于第一象限。直线y=kx
y与圆相切时，取得最大值和最小值，如右图所示，上下切
x点即为P和Q。连接O'P，O'Q，PQ和OO'。根据圆的切线的性质，O'P=O'Q=2，?OPO'=?OQO'=90°，则△OPO' ?△OQO'，OO'平分?PO'Q，OO'?PQ且平分PQ于M。长度OO'=32?42=5。
则在Rt△OO'Q中，OQ=52?22?21，sin?OO'Q?654321O123PO'MQ45x
21。在Rt△O'MQ中，51'Q?sin?O O'Q?2?21?221，PQ=2?221?421，故应选C。 MQ?PQ?O55552
16．【答案】A
x1?x?x1x1（tan）-ln]??（?tan）???sec2? 【解析】y?ln则y??[ln（tan）-ln，
xx2222222tantan22x?sec2sec24?2?1，故应选A。 2。y????????x?2?2tan?2?12tan4217．【答案】C
【解析】某一点的极限与该点有无函数无关，因此可排除A、B两项；f（x）?4也满足fx）?4，im[（fx）2?]4?2?2?0?，题意，故可排除D。对于C选项，因lim（则l故有在x?1
x?1x?1的某邻域（x?1）中，f（x）?2?0即f（x）?2，故应选C。
18．【答案】D
x?11x?3（ft）dt与?【解析】?（ft）dt分别为函数f（x）在区间[x，x?1]和区间[x，x?3]上xx3的平均值。因为y1（x），y2（x），y3（x）在区间[x，x?1]和[x，x?3]上均有负值，其平均值（dt明显小于零，而y2（0）明显小应比f（x）的峰值小，因此f（x）? y3（x）。此时?y3t）01于零，据此可知?x?1x（ft）dt?y2（x），则
1x?3，故应选D。 （ft）dt?y1（x）
3?x19．【答案】A
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【解析】令?lnx?t，则x?e?t，由f?（?lnx）?x得f?（t）?e?t，又f（0）?1，f（t）? f（0）
?t）dt??e?tdt?1?e?t，则：f（t）?2?e?t，f（1）?2?e?1故应选A。 ??f（00tt20．【答案】D 【解析】曲线y?x?11上任意一点坐标为（x，x?），它到单位圆圆心的距离为：xx11211?2x2?2?2≥22x2?2?2?22?2，当且仅当2x2?2时等 x2?（x+）xxxx2（??2）1?所以号成立。最短距离d?22?2?1。因为4?22?2????，
??1?d??????1，即??d??，故应选D。
21．【答案】A
（e?t?1）dt洛必达?0【解析】若函数f（x）在x?0点连续，f（0）?a ?lim（fx）?lim?
x?0x?0法则x3洛必达（3e?9x?1）3?（?18x）e?9x?9x2lim??lim?lim?9e??9，故应选A。 x?0法则x?0x?06x3x222．【答案】C
223x2110【解析】A?011?2?0，则矩阵A可逆且A??A?A?1。A?X?A化为AA?1X=A，两
101边同乘以A，
得
?110??110??121?1111??011???112?X=?A2?A2??011???2??，则X的第3行的行向量为A22??101??101??211????????11??1?，故应选C。
22??23．【答案】D
x1010101【解析】行列式
01x11x10101x中的x均为零时，结果即为常数项，即常数项?010110101010?0，
故应选D。 24．【答案】C
【解析】特征值之和等于矩阵A对角线元素之和，则得第3个特征值为：（3?1?3）?（1?1）??1，即?1为二重特征值。欲使A可对角化，则?1必对应两个线性无关的特征向量，
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