初中数学竞赛辅导资料

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初中数学竟赛辅导资料(1)

数的整除

内容提要：

如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2或5 末位数能被2或5整除 4或25 末两位数能被4或25整除 8或125 末三位数能被8或125整除 3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 11 (如143,1859,1287,908270等) 7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等) 能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）

又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）

又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 例题

例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除。

求x,y

解：x,y都是0到9的整数，∵5y7能被9整除，∴y=6. ∵328＋2x9＝567，∴x=3

例2己知五位数1234x能被12整除， 求X

解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8

当末两位4X能被4整除时，X＝0，4，8 ∴X＝8

例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数

解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，

但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，

∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

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练习1

1 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）

①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296

2 若四位数987a能被3整除，那么 a=_______________ 3 若五位数12X34能被11整除，那么 X＝__________- 4 当 m=_________时，35m5能被25整除

当 n=__________时，9610n能被7整除

能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________

能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________

8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：

6________,8__________,9_________,11__________

9 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍

数的共______个。

10 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几

个？为什么？ 5 6 7 8

11 己知五位数1234A能被15整除，试求A的值。 12 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。

13 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿

（1989年全国初中联赛题）

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初中数学竞赛辅导资料（2）

倍数 约数

内容提要

1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。

2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。

3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，??都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，??。

4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。

5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7在有余数的除法中，

被除数＝除数×商数＋余数 若用字母表示可记作：

A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除

例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除。 例题

例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以

应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。 解：列表如下 正 个 正 个正 个正约数 整正约数 数 整正约数 数整 数数 计 数 计 数 计 4 1，2 1，3 1，2， 2 2 32 2×3 3，6 1，2，4 1，2，3， 6 1，3，32 2 2 223 33 2×3 4，6，12 1，2， 1，3， 1，2，3， 9 3 3 22 23 24 34 2×34，8 3，34，6，9， 12，18，36 1，2，4， 1，3，32， 4 4 25 35 8，16 33，34 其规律是：设A＝ambn(a，b是质数,m，n是正整数) 那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1) 例1 求360的正约数的个数

解：分解质因数：360＝23×32×5，

360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个） 例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数 解：∵24＝23×3，90＝2×32×5

∴最大公约数是2×3， 记作（24，90）＝6

最小公倍数是23×32×5＝360， 记作[24,90]=360 例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N

解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数 ∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，∴N＝6，3

例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数

分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。

解： ∵[10,9,8]=360,

∴所以所求的数是359

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练习2

1， 12的正约数有_________,16的所有约数是_________________ 2， 分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________ 3， 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。 4， 一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________

5， 能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 6， 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________ 7， 写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答____ 8， 一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以

是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？

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