初中数学竞赛辅导资料

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初中数学竞赛辅导资料（3）

质数 合数

内容提要

1 正整数的一种分类：

质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。

合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合

数。

2 根椐质数定义可知

① 质数只有1和本身两个正约数， ② 质数中只有一个偶数2

如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2， 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，

3任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。 例题

例1两个质数的和等于奇数a (a≥5)。求这两个数 解：∵两个质数的和等于奇数 ∴必有一个是2

所求的两个质数是2和a－2。

例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数 解：∵质数m只含两个正约数1和m, 又∵（－1）（－m）=m

∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m. 例3己知三个质数a,b,c它们的积等于30

求适合条件的a,b,c的值 解：分解质因数：30＝2×3×5

?a?2? 适合条件的值共有： ?b?3?c?5??a?2??b?5?c?3??a?3?a?3?a?5?a?5?????b?2?b?5?b?2?b?3 ?c?5?c?2?c?3?c?2????应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2×3

×5×7那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。

练习3

1， 小于100的质数共___个，它们是__________________________________ 2， 己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝＿＿，Q＝＿＿ 3， 己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿ 4， 如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿

如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿ 如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿

5, 两个质数x和y，己知 xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__. 6, 三个质数a,b,c它们的积等于1990.

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?a?? 那么 ?b?

?c??7, 能整除311＋513的最小质数是＿＿

8，己知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M。 求M及

AB＋的值 BA9，试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数。

10，具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？ 11，求适合下列三个条件的最小整数：

① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数

12，某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，

那么这个质数是＿＿＿

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初中数学竞赛辅导资料（4）

零的特性

内容提要

一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。 零是自然数，是整数，是偶数。 1， 零是表示具有相反意义的量的基准数。

例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高

收支衡可记作结存0元。

2， 零是判定正、负数的界限。

若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a＞0 记作 a＞0 ? a是正数 读作a＞0等价于a是正数 b<0 ? b 是负数

c≥0 ? c是非负数（即c不是负数，而是正数或0） d?0 ? d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0) e?0 ? e不是0 （即e不是0，而是负数或正数） 3， 在一切非负数中有一个最小值是0。

例如 绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。 记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，

a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。

4， 在一切非正数中有一个最大值是0。

例如 －|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），

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－（X－2）?0，当X＝2时，－（X－2）的值最大，是0。 二，零具有独特的运算性质

1， 乘方：零的正整数次幂都是零。

2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；

零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。

3， 乘法：零乘以任何数都得零。 即a×0＝0，

反过来 如果 ab=0,那么a、b中至少有一个是0。

要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。

4， 加法 互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。 即a、b互为相反数?a+b=0

5， 减法 两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定， 若a-b=0,则a=b; 若a-b＞0,则a＞b; 若a-b＜0,则a＜b。

反过来也成立，当a=时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a

例如 近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下： 1.55?近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605 例题

例1．两个数相除，什么情况下商是1？是－1？

答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商是－1。 例2．绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？

答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于－3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。 例3．要使下列等式成立X、Y应取什么值？为什么？ ①X（Y－1）＝0， ② ｜X－3｜＋（Y＋2）2＝0

答：①根据任何数乘以0都得0，可知当X＝0时，Y可取任何数；

当Y＝1时，X取任何数等式X（Y－1）＝0都是能成立。

②∵互为相反数相加得零，而｜X－3｜≥0，（Y＋2）2≥0，

∴它们都必须是0，即X－3＝0且Y＋2＝0，

故当X＝3且Y＝－2时，等式｜X｜＋（Y＋2）2＝0成立。

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练习4

1， 有理数a和b的大小如数轴所示:

b 0 a 比较下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号連接）

2a 0, －3b 0,

－a2 0, －b3 0, a+b 0, a－b 0, ab 0, (－2b)3 0,

12 0, － 0， abaa 0, 0 b?b2, a表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：＿＿个。

｜a|>a, a2> －a2, a>－a, a+1>a

3, x表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：＿＿句。 ①（x－2）2有最小值0， ③ －｜x+3|有最大值0， ② 2－x2有最大值2， ④ 3＋｜x－1｜有最小3。 4，绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？ 5， 要使下列等式成立，字母X、Y应取什么值？

①

0＝0， ②X（X－3）＝0， ③｜X－1｜＋（Y＋3）2＝0 X3 a?16， 下列说法正确吗？为什么？

① a的倒数是1a ②方程（a－1）X＝3的解是X＝③ n表示一切自然数，2n－1表示所有的正奇数

④ 如果a>b, 那么m2a>m2b (a 、b 、m都是有理数 ) 7， X取什么值时，下列代数式的值是正数？

① X（X－1） ② X（X＋1）（X＋2）

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