初中数学竞赛辅导资料

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初中数学竞赛辅导资料（7）

用字母表示数

内容提要和例题

1， 用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽

象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。

2， 用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。 例如①写出数a的倒数 ②用字母表示一切偶数

解：①当a≠0时， a的倒数是

1 a ②设n为整数， 2n可表示所有偶数。

3， 命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有

意义。

例题① 化简：?｜x －3｜（x<3） ?| x+5| 解：?∵x<3,∴x－3<0，

∴｜x－3｜＝－（x－3）＝－x＋3 ?当x≥－5时，｜x＋5｜＝x＋5，

当x <－5时，｜x＋5｜＝－x－5（本题x 表示所有学过的数） 例② 己知十位上的数是a,个位数是b ,试写出这个两位数

解：这个两位数是10a+b

(本题字母a、b的取值是默认题设有意义,即a 表示1到9的整数，b表示0到9的整数)

4， 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时，一般左边作为题设，所用的字母是使左边代数式

有意义的，所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。 例如用字母表示：①分数的基本性质 ②分数除法法则

解：①分数的基本性质是

bbmbb?m?(m≠0)，? (m≠0) aamaa?m a作为左边的分母不另说明a≠0，

②

bdbc???(d≠0) d在左边是分子到了右边变分母，故另加说明。 acad224121168(16?24?)?2?=

171717817175， 用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式，不仅可从左到右顺用，还可从右到左逆用；公式可

以变形，变形时字母取值范围有变化时应加说明。例如： 乘法分配律，顺用a(b+c)=ab+ac,

逆用5a+5b=5(a+b), 6.25×3.14－5.25×3.14=3.14(6.25－5.25)=3.14 路程S=速度V×时间T， V=

SS(T≠0)， T=(V≠0) TV6， 用因果关系表示的性质、法则，一般不能逆用。

例如：加法的符号法则 如果a>0，b>0， 那么 a+b>0，不可逆

绝对值性质 如果a>0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a则a≥0) 7， 有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。 例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n位数呢？

解：不同的五位数可从最大 五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数，即99999-9999=90000.

推广到n位正整数，则要观察其规律 一位正整数,从1到9共9个， 记作9×1 二位正整数从10到99共90个， 记作9×10

三位正整数从100到999共900个， 记作9×102

四位正整数从1000到9999共9000个， 记作9×103 (指数3=4-1)

?? ??

∴n位正整数共9×10 n-1个

例2 _____________________________________________________

A C D E B

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在线段AB上加了3个点C、D、E后，图中共有几条线段？ 加n点呢？ 解：以A为一端的线段有： AC、AD、AE、AB 共4条 以C为一端的线段有：(除CA外) CD、CE、CB 共3条 以D为一端的线段有：(除DC、DA外) DE、DB 共2条 以E为一端的线段有：(除ED、EC、EA外) EB 共1条 共有线段1+2+3+4=10 (条) 注意：3个点时，是从1加到4， 因此 如果是n个点，则共有线段1+2+3+??+n+1=

练习7

1， 右边代数式中的字母应取什么值？ ①

n(n?2)1?n?1n=条

224

②S正方形=a2 ③3的倍数3n x?22， 用字母表示：

①一切奇数， ②所有正偶数， ③一个三位数， ④n个a相乘的结果， ⑤负数的绝对值是它的相反数。

3， 写出：?从1开始，n 个自然数的和是______________________

?从11开始到2n+1 連续奇数的和( n>5)是__________ ?m个球队进行单循环赛所需场数是_________________

4， 已知999=103－1, 9999=104－1,

那么各位数都是9的n位数999?9=_____ ?????n25， 计算11= 111= (n≤10时)111?1?????=____________________

2

2

n6， 写出图中所有三角形并计算其个数，

如果线段上有10个点呢？

OABCDE 14

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初中数学竞赛辅导资料（8）

抽屉原则

内容提要

1， 4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即等于或多

于2个）；如果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即的等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。 2， 如果用m?n?表示不小于mn的最小整数，例如?73?＝3，?63??2 。那么抽屉原则可定义为：m

m?个。 个元素分成n个集合（m、n为正整数m>n）,则至少有一个集合里元素不少于?nm?的定义，己知m、n可求?m?； 3， 根据?nnm?，则可求m的范围，例如己知?m?＝3，那么2＜m≤3；己知?x?＝2，则 1＜x≤己知?3nnnn32，即3＜x≤6，x有最小整数值4。

例题

例1某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？

分析：我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m（2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于m解：∵

200017?5 ∴2000＝6

366366366???n?个

答：至少有6名学生的生日是同一天

例2 从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。 解：我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：｛1，2，4，8，｝，

｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。 ∵要在5个集合里取出6个数，

∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。 （本题的关键是划分集合，想一想为什么9不能放在3和6的集合里）。

例3 袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球，要求至少有3个颜色相

同，那么至少应取出几个才有保证。

分析：我们可把4种球看成4个抽屉（4个集合），至少有3个球同颜色，看成是至少有一个抽屉不少于3个（有一个集合元素不少于3个）。 解：设至少应取出x个，用｛x｝表示不小于x的最小整数，那么

44｛x｝＝3， ∴2＜x≤3， 即8＜x ≤12， 最小整数值是9。

44答：至少要取出9个球，才能确保有三个同颜色。

例4 等边三角形边长为2，在这三角形内部放入5个点，至少有2个点它们的距离小于1，试说明理

由。

解：取等边三角形各边中点，并連成四个小三角形（如图）它们边长等于1， ∵5个点放入4个三角形，

∴至少有2个点放在同一个三角形内，

而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。

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练习8

1， 初一年新生从全县17个乡镇招收50名，则至少有＿人来自同一个乡镇。 2， 任取30个正整数分别除以7，那么它们的余数至少有＿＿个是相同的。

3， 在2003m中，指数m任意取10个正整数，那么这10个幂的个位数中相同的至少于＿＿个.

4， 暗室里放有四种不同规格的祙子各30只，为确保取出的祙子至少有1双（2只同规格为1双）那么

至少要取几只？若要确保10双呢？

5， 袋子里有黑、白球各一个，红、蓝、黄球各6个，请你拿出一些球，要确保至少有4个同颜色，那

么最少要取几个？

6， 任意取11个正整数，至少有两个它们的差能被10整除，这是为什么？ 7， 右图有3行9列的方格，若用红、蓝两种颜色

涂上，则至少有2列的涂色方式是一样的，试说明这是为什么。 8， 任意取3个正整数，其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理 由。

9， 90粒糖果分给13个小孩，每人至少分1粒，不管怎样分，总有两人分得同样多，这是为什么？ 10，11个互不相同的正整数，它们都小于20，那么一定有两个是互质数。 （最大公约数是1的两个正整数叫互质数）

11，任意6个人中，或者有3个人他们之间都互相认识，或者有3个人他们之间都互不相识，两者必居其一，这是为什么？

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