12．如图，过函数y＝xsinx＋cosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为( )
[答案] A
[解析] ∵y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx， ∴k＝g(x)＝xcosx，易知其图象为A.
123
13．函数f(x)＝2x＋x－x＋1的图象与x轴交点个数为________个．
2[答案] 1
1112
[解析] f ′(x)＝6x＋x－1＝(3x－1)(2x＋1)，当x<－时，f ′(x)>0，当－ 223 f ′(x)<0，当x>时，f ′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－)上单调递增，在(－，)上单调递 1 减，在(，＋∞)上单调递增， 3 111143 ∴当x＝－时，f(x)取到极大值，当x＝时，f(x)取到极小值，故f(x)的图象与x28354轴只有一个交点． 14．将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯梯形的周长形，记s＝ 梯形的面积 [答案] 323 3 2 13121213 ，则s的最小值是________． - 9 - [解析] 设DE＝x， 则梯形的周长为：3－x， 1332 梯形的面积为：(x＋1)·(1－x)＝(1－x)， 224∴s＝ 3 43－x1－x22 43x－6x＋9＝·，x∈(0,1)， 2 31－x2 2 x2－6x＋9－6x＋20x－6 设h(x)＝，h′(x)＝. 222 1－x1－x1 令h′(x)＝0，得：x＝或x＝3(舍)， 3 ?1?∴h(x)最小值＝h??＝8， ?3? 43323 ∴s最小值＝×8＝. 33 15．(文)甲乙两地相距400km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100km/h，已11 知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(km/h)的函数关系是P＝v4－v3＋15v. 19200160 (1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值． 5v[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用h，故全程运输成本为Q＝＝－＋6000 vv482 400 (0 (2)Q′＝－5v，令Q′＝0得，v＝80， 16 2000 ∴当v＝80km/h时，全程运输成本取得最小值，最小值为元． 3 (理)(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片， - 10 - 400Pv3 2 v2 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)． (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [解析] 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得 3 2 a＝2x，h＝ 60－2x＝2(30－x)，0 2 (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)＋1800， 所以当x＝15时，S取得最大值． (2)V＝ah＝22(－x＋30x)，V′＝62x(20－x)． 由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20. 当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 2 3 2 h11此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为. a22 16．(文) 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2m的正四棱锥形有盖容器(如右图)．设容器的高为hm，盖子边长为am. (1)求a关于h的函数解析式； 2 - 11 - (2)设容器的容积为Vm，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．(容器的厚度忽略不计) 3 [解析] (1)如右图，作PO⊥平面ABCD，O为垂足，作OE⊥BC于E，连结PE，则PE⊥BC，正四棱锥的全面积为 1 2＝4××a× 2所以a＝ 11＋h2 h2＋a2 2 ＋a. 2 (h>0)． 121h(2)V＝ah＝·2(h>0)， 331＋h11＋h－h2h1－hV′＝·＝222 31＋h31＋h2 2 2 . 所以当0 13 答：当高h＝1m时，容积取最大值m. 6 (理)如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若 AB＝1m，AD＝0.5m，问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大？ - 12 -
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