河南省洛阳市第二外国语学校2013届高考数学 闯关密练特训《3-3导数的实际应用》试题 新人教A版 2

[解析] 由题知，边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分． 111

以O点为原点，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(0，)，M(，)．

42412

所以边缘线OM所在抛物线的方程为y＝x(0≤x≤)．

2

要使如图的五边形ABCEF面积最大，则必有EF所在直线与抛物线相切，设切点为P(t，

t2)．

则直线EF的方程为y＝2t(x－t)＋t，即y＝2tx－t， 1＋4t12

由此可求得点E，F的坐标分别为E(，)，F(0，－t)．

8t411＋4t12

所以S△DEF＝S(t)＝··(＋t)

28t4116t＋8t＋11

＝·，t∈(0，]． 64t2148t＋8t－1所以S′(t)＝·

64t2

32

34t＋1t＋612t－14t＋1＝＝22

64t16t2

2

4

2

4

2

2

2

2

2

t－

3

6

，

- 13 -

显然函数S(t)在(0，

3313

]上是减函数，在(，]上是增函数．所以当t＝时，S△DEF6626

取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大．

此时点E、F的坐标分别为E(

311

3，4)，F(0，－12

)． 此时沿直线EF划线可使五边形ABCEF的面积最大．

1．函数f(x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(

A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、两个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 [答案] C

[解析] 设f ′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4， 当x0，f(x)为增函数， 当x1

同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．

2．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角的余弦值为( A．－5

5

B.55

C.

22

D．1

[答案] C

[解析] f ′(x)＝excosx－exsinx，∴f ′(0)＝1.

)

) - 14 -

设f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为α，则tanα＝1， π2

∵α∈(0，π)，∴α＝，∴cosα＝. 42

sinθ33cosθ2?5π?3．设函数f(x)＝x＋x＋tanθ，其中θ∈?0，?，则导数f ′(1)的取

12?32?值范围为( )

A．[－2,2] C．[3，2] [答案] D

[解析] ∵f ′(x)＝sinθ·x＋3cosθ·x， π??∴f ′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2sin?θ＋?.

3??π?π3π??5π?∵θ∈?0，?，∴θ＋∈?，?.

12?4?3?3?

π??2??∴sin?θ＋?∈?，1?，∴f ′(1)∈[2，2]，故选D. 3??2??

4．某工厂要围建一个面积为128m的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．

[答案] 16m 8m

128

[解析] 设场地宽为xm，则长为m，

22

B．[2，3] D．[2，2]

x128

因此新墙总长度为y＝2x＋(x＞0)，

xy′＝2－

128

2，令y′＝0，∵x>0，∴x＝8.

x因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0， 所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m. 即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省． 5．(2011·陕西文)设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f ′(x)． (1)求g(x)的单调区间和最小值； 1

(2)讨论g(x)与g()的大小关系；

x1

(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．

a11

[解析] ∵f(x)＝lnx，∴f ′(x)＝，g(x)＝lnx＋. xx - 15 -

∴g′(x)＝

x－1

，令g′(x)＝0得x＝1， x2

当x∈(0,1)时，g′(x)<0，∴(0,1)是g(x)的单调减区间； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.∴(1，＋∞)是g(x)的单调增区间， 因此当x＝1时g(x)取极小值，且x＝1是唯一极值点，从而是最小值点． 所以g(x)最小值为g(1)＝1. 1

(2)g()＝－lnx＋x

x11

令h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，

xxx－1则h′(x)＝－2

2

x，

1当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()，

x当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时h′(x)<0，h′(1)＝0，所以h(x)在(0，＋∞)单调递减， 1

当x∈(0,1)时，h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g()，

x1

当x∈(1，＋∞)时，h(x)

x1

综上知，当x∈(0,1)时，g(x)>g()；

x1

当x＝1时，g(x)＝g()；

x1

当x∈(1，＋∞)时，g(x)

x(3)由(1)可知g(x)最小值为1，

11

所以g(a)－g(x)<对任意x>0成立等价于g(a)－1<，即lna<1，解得0

aa所以a的取值范围是(0，e)．

6．学习曲线是1936年美国康乃尔大学T.P.Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f(t)＝

3

－t·100%(其中f(t)为该任务的程度，t为学习时间)，且这类学习任务中

4＋a·2

的某项任务满足f(2)＝60%.

(1)求f(t)的表达式，计算f(0)并说明f(0)的含义； (2)已知2>xln2对任意x>0恒成立，现定义

xft为该类学习任务在t时刻的学习效率t指数，研究表明，当学习时间t∈(1,2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率

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