第九章 线性系统的状态空间分析与综合
在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统理论以及用其设计控制系统的方法。可以看到，经典线性理论的数学基础是拉普拉斯变换和z变换，系统的基本数学模型是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。
在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。
现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入—输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。
在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介绍线性系统的状态空间法。
9-1 线性系统的状态空间描述
1. 系统数学描述的两种基本类型
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u?[u1,u2,...,up]T和
y?[y1,y2,...,yq]T表示，它们均为系统的外部变量。描述系统内部每个时刻所处状况的
变量为系统的内部变量，以向量x?[x1,x2,...,xn]间因果关系和变换关系的一种数学模型。
T表示。系统的数学描述是反映系统变量
系统的数学描述通常由两种基本类型。一种是系统的外部描述，即输入-输出描述。这种描述将系统看成为一个“黑箱”，只是反映系统外部变量间即输入-输出间的因果关系，而不去表征系统的内部结构和内部变量。如第一章至第六章所研究的单输入-单输出线性定常连续系统，其外部数学描述就是一个n阶微分方程及对应的传递函数。系统描述的另一种类型是内部描述，即状态空间描述。这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型，通常由两个数学方程组成。一个是反映系统内部变量x?[x1,x2,...,xn]变量u?[u1,u2,...,up]TT和输入
间因果关系的数学表达式，常具有微分方程或差分方程的形式，称
T为状态方程。另一个是表征系统内部变量x?[x1,x2,...,xn]，及输入变量u?[u1,u2,...,up]T
u?[u1,u2,...,up]T和输出变量y?[y1,y2,...,yq]T间转换关系的数学表达式，具有代数方程
的形式，称为输出方程。在以后的研究中可以看到，外部描述仅描述系统的外部特性，不能反映系统的内部结构特性，而具有完全不同内部结构的两个系统也可能具有相同的外部特性，因而外部描述通常只是对系统的一种不完全的描述。内部描述则是对系统的一种完全的描述，它能完全表征系统的所有动力学特征。仅当在系统具有一定属性的条件下，两种描述才具有等价关系。
2. 系统描述中常用的基本概念
无论是系统的外部描述还是系统的内部描述，下列的一些概念是常用的，现给出其定义，以便读者在学习本章和阅读国内外有关文献时更清楚地理解系统的性质和分类。
输入和输出 由外部施加到系统上的全部激励称为输入，能从外部量测到的来自系统的信息称为输出。
松弛性 若系统的输出y[??0,∞]由输入u[??0,∞]唯一确定，则称系统在??0时刻是松弛的。从能量的观点看，系统在??0时刻是松弛的意味着系统在时刻不存贮能量。例如一个RLC网络，若所有电容两端的电压和流过电感的电流在??0时刻均为零(即初始条件为零)，则称网络在??0时刻是松弛的。若网络不是松弛的，则其输出不仅由输入决定，而且与初始条件有关。
对于一个松弛系统，其输入—输出描述为
y?Hu (9-1)
式中H为某一算子，例如传递函数就是一种算子。
因果性 若系统在t时他刻的输出仅取决于在t时刻和t之前的输入，而与t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性或因果关系(Causal)。本书中所研究的实际物理系统均具有因果性，并称为因果系统。若系统在t时刻的输出尚与t时刻之后的输入有关，则称系统不具有因果性。不具有因果性的系统能够预测t时刻之后的输入并施加于系统而影响其输出。
线性 一个松弛系统当且仅当对于任何输入??1和??2。以及任何实数??均有
H(u1?u2)?Hu1?Hu2 (9-2) H(?u1)??H(u1) (9-3)
则该系统称为线性的，否则称为非线性的。式(9-2)称为可加性，式(9-3)称为齐次性。若松弛系统具有这两种特性，则称该系统满足叠加原理。
时不变性（定常性） 一个松弛系统当且仅当对于任何输入u和任何实数??，均有
HQ?u?Q?Hu (9—4)
则该系统称为时不变的或定常的，否则称为时变的。式中对于所有??均有
Q?为位移算子，
Q?u表示
Q?u(t)?u(t??) (9—5)
式(9—4)又可写为
HQ?u?Q?y (9—6)
线性时不变(定常)系统数学方程中各项的系数必为常数，只要有一项的系数是时间的函数，则系统是时变的。
3. 系统状态空间描述常用的基本概念
下面所介绍的是在系统状态空间描述中常用的一些基本概念。
状态和状态变量 系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态。确定系统状态的一组独立(数目最小)的变量称为状态变量。
一个用n阶微分方程描述的系统，当n个初始条件??(??0)，???(??0)，…，?????1(??0)及t≥??0的输入??(??)给定时，可惟一确定方程的解，即系统将来的状态，故工??(??)，???(??)，… ，?????1(??)这n个独立变量可选作状态变量。状态变量对于确定系统的行为既是必要的，也是充分的。n阶系统状态变量所含独立变量的个数为n。显然，当变量个数小于n时，便不能完全确定n阶系统的状态，而当变量个数大于n时，对于确定系统的状态有的变量则是多余的。
状态变量的选取不具有惟一性，同一个系统可能有多种不同的状态变量选取方法。
状态变量也不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义，而无任何物理意义。但在具体工程问题中，应尽可能选取容易量测的量作为状态变量，以便实现状态的前馈和反馈等设计要求。例如，机械系统中常选取线(角)位移和线(角)速度作为变量，RLC网络中则常选取流经电感的电流和电容的端电压作为状态变量。
状态变量常用符号
x1(t),x2(t),...,xn(t)表示。
x1(t),x2(t),...,xn(t)T状态向量 把描述系统状态的n个状态变量看作向量x(t)的分量，即
x(t)?[x1(t),x2(t),...,xn(t)]
则向量x(t)称为n维状态向量。给定t＝??0时的初始状态向量X(to)及t≥??0的输入向量
??(??),t≥??0的状态由状态向量x(??0)惟一确定。
状态空间 以n个状态变量作为基底所组成的n维空间称为状态空间。 状态轨迹 系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点来表示。随着时间的推移，系统状态在变化，并在状态空间中描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态空间中随时间变化的轨迹称为状态轨迹或状态轨线。
状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为
x(t)?f[x(t),u(t),t]. （9-7）
或
x(tk?1)?f[x(tk),u(tk),tk] （9-8）
输出方程 描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，其一般形式为
y(t)?g[x(t),u(t),t] （9-9）
或
y(tk)?g[x(tk),u(tk),tk] （9-10）
输出方程表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变化，它是一个变换过程。
状态空间表达式 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称动态方程，其一般形式为
x(t)?f[x(t),u(t),t] （9-11） y(t)?g[x(t),u(t),t].或
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