等差数列的综合应用

三年级春季 第九讲 等差数列综合应用 周艳丽

等差数列综合应用

一、基本概念

等差数列：数列中相邻两项的差是一个固定值，这养的数列是等差数列，这个固

定的值就是公差

项：组成数列的每一个数，首项、中间项、末项 项数：数列中数的个数 公差：相邻两数之差

二、基本公式

等差数列的知识最重要的就是在理解等差数列基本概念的基础上灵活的运用公式，并通过大量的练习题来熟练掌握等差数列的知识。

? 通项公式：第n项=首项+公差×（n-1） 末项=首项+公差×（项数-1） 第n项-第m项=公差×（n-m） ? 项数=（末项-首项）÷公差+1

? 求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2

（可用于任一等差数列求和）

? 中间项定理：中间项是所有项的平均数

中间项=（首项+末项）÷2 和=中间项×项数 （项数为奇数）

三、练习与拓展 一、练习题

1、对于数列4、7、10、13、16、19……，第10项是多少？49是这个数列的第几项？第100项与第50项的差是多少？ 分析 题目告诉的是一个等差数列，那就看问的是什么，用相应的公式求解即可。

第一问，问的是某一项，用通项公式：4+3×（10-1）=31

第二问，49是第几项，其实就是问这个数列写到49一共写了多少项。 用项数公式：（49-4）÷3+1=16

第三问，某两项之间的差：3×（100-50）=150

2、已知数列0、4、8、12、16、20……，它的第43项是多少？ 分析 第n项=首项+公差×（n-1）

第43项=0+4×（43-1）

3、在1—100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

分析 不能被9整除的数太多了，也不是等差数列。那反过来想，能被9整除的数

是等差数列，用1~100的和，减去能被9整除的数的和，就是所要求的和啦。

1~100的和：（1+100）×100÷2=5050

能被9整除的数的和：（9+18+27+……+99）=9×（1+2+3+……+11）=9×66=594

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最终结果：5050-594=4456

4、在11-45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？

分析 （1）先求出所有能够被3整除的数的和；11-45中能被3整除的数是12、

15……45，共有多少个呢？求项数：（45-12）÷3+1=12，接下来可以求和了（12+45）×12÷2=342(2)11-45这35个数的和是（45-11）×35÷2=980(3)所求为总和减去能够被3整除的数的和，即980-342=638

5、从401到1000的所有整数中，能够被8整除余数为1的的数有多少个？ 分析 在401-1000中能够被8整除的401、 409、417……993，为公差是8的

等差数列，求该数列的项数，用项数公式（993-401）÷8+1=75

6、已知一个数列的首项是5、末项是105、公差是5、还知道中间项是55，那么这个等差数列的和是多少？

分析 先求项数 (105-5)÷5+1=21项，中间项定理求和 55×21=1155

7、用等差数列求和公式你会做下面的题吗？ （1）3+4+5+6+……+76+77+78 （2）1+3+5+7+……+87+89 （3）4+7+10+13+……+43+46 分析 先求项数再用求和公式求和 （1）3078（2）2500（3）375

二、提高题

1、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？

分析 知道这7个数组成了递增的等差数列，和是210，很容易能算出中项（其实

就是平均数）， 中项（第4项）：210÷7=30 第1项（与第4项相差3个公差）：30-3×5=15 第6项（与第4项相差2个公差）：30+2×5=40

2、已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，……，问2009是这个数列的第几项？ 分析：偶数项的排列规律是：1、3、5、7，……

奇数项的排列规律是：2、4、6、8，……

方法一：可以看出两个数列都是等差数列。由于2009是奇数，所以在偶数项数列中，它在偶数项这个数列中的项数是（2009-1）÷2+1=1005，所以在整个数列中，2009的项数是1005×2=2010，所以2009是这个数列的2010项。 方法二 ：观察可以发现，在整个数列中，奇数的项数是该数+1，比如 1是第2项，3是第4项，5是第6项，那么2009是第2010项

3、100个连续自然数（按从小到的书的大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个……第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？ 分析

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方法一：100个连续自然数是公差为1的等差数列，拿走第1个，第3个……第99个，剩下的50个数是一个公差为2的等差数列，要求和，只要知道其中的首项和末项，就可以用求和公式了。怎么算出其中的首项呢？

8450÷100=84.5（这是假设的中项）由此可推出第50个数是84，第51个数是85 这100的数的第1个数应该是84-49=35

剩下的50个数应该是36、38、40……最后一个是36+2×（50-1）=134 求和：（36+134）×50÷2=4250

注：当然也可以用8450÷50得到第1个数与第100个数的和是169，进而用和差公式求出第1个数为（169-99）÷2=35。

方法二：想象这100个数分成了两队——单数项队和双数项队，每队都是50个数，双数项队每一个数都比对应的单数项队大1，所以双数项队的和比单数项队的和大50，而两队之和就是8450，直接用和差公式得到结果：（8450+50）÷2=4250，这种方法是不是更简单呢？

4、一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排有210个座位，那么剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢？

分析 本题问中间排有多少座位，说明一定有中间排（即排数是单数）。

中项=（首项+末项）÷2=（10+210）÷2=110（个） 第二问，要求和，已经算出了中项，只要再求出项数就可以用中项公式了。 排数：（210-10）÷2+1=101（排） 总数：110×101=11110（个）

5、下面的这个题，你有什么好方法呢？

（1+3+5+……+1997+1999）—（2+4+6+……+1996+1998） 分析

方法1 两个括号内的算式都是等差数列的和，因此可以先用等差数列的求和公式分别算出两个括号内的结果，然后再求差 根据项数=（末项-首项）÷公差+1

第一个数列的项数=（1999-1）÷2+1=1000 第二个数列的项数=（1998-2）÷2+1=999 用求和公式求和得：（1+1999）×1000÷2-（2+1998）×999÷2=1000

方法2 第一个括号有1000个数，第二个括号有999个数，把1除外，第一个括号内的数分别比第二个括号内的数大1，因此可以简便求和

原式=1+（3-2）+（5-4）+……+（1999-1998）=1+(1+1+……1)（括号内有999个1）=1000

6、计算（2+4+6+……+1986+1988）-（1+3+5+……+1985+1987） 分析 同上题，两个括号内的算式都各有994项

原式=（2-1）+（4-3）+……+（1988-1987）=(1+1+……1)（994个1）=994

7、一个队列按照每排2、4、6、8人的顺序可以一直排到一排100人，问共有多少人？

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分析 每排人数构成2、4、6、8……100的等差数列，求这个数列的和就要先求项数，用项数公式求出项数是50，再用求和公式求出和为2550

三、拓展题

1、（2010年迎春杯中年级复赛第2题）

张杰从27写了26个连续奇数，王强从26起写了26个连续自然数，然后他们分别将自己的26个数求和，那么这两个和的差是_______.

分析 张杰所写的数是27,29,31……75，77；王强所写的数是26，27,28，……50，51。于是张杰的每个数比王强对应位置的数依次大1、2、3……25、26。所以张杰写的数的总和比王强所写的数的总和大1+2+3……+25+26=27×26÷2=351

2、（2010年希望杯五年级初赛第6题）

在99个连续的自然数中，最大的数是最小的数的25.5倍，那么这个自然数的平均数是________.

分析 设最小的数是a,那么最大的数就是a+98,列方程得到a+98=25.5a,得到a=4,那么他们的平均数就是（4+4+98）÷2=53

3、盒子里有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出1只球，将它变成3只后放入盒子；第二次拿出2只球，将每只求变成3只球放入盒子……第十次从盒子里拿出10只求，将每只求变成3只球放入盒子，这时盒子里一共有多少球乒乓球？ 分析 一只球变成3只，实际上增加了2只，第一次多2只，第二次多2×2只，第三次多3×2只……第十次多2×10只，因此拿了10次后一共盒子里有球3+2×1+2×2+2×3+……2×10然后运用乘法分配律的逆运算，变成3+2×（1+2+3+……+10）=113只

4、下列数阵有100个数，他们的和是多少？ 11 12 13 … 19 20 12 13 14 … 20 21 13 14 15 … 21 22

. . . … . . . . . … . .

20 21 22 … 28 29

分析 方法一 每一行或者每一列的和均构成等差数列，

先看行，因为是偶数行没有中间项，首项=11+12+……20=（11+20）×10

÷2=155

末项=（20+29）×10÷2=245，这100个数的和是（155+245）×10÷2=2000 按列算同上

方法二 从右上到左下的对角线上的数都是20，沿此对角线对折，上下重

叠的两数之和都是40，所以这100个数的平均数是20，这100个数的和事20×100=2000

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