一．方法综述
立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点.究其原因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的.
动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证. 二．解题策略
类型一 立体几何中动态问题中的角度问题
例1.【四川高考题】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为?，则cos?的最大值为.
【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值.当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小时，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大. 【举一反三】
1、【四川高考题】如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为?，则sin?的取值范围是（） A．[3662222,1] B．[,1] C．[,] D．[,1] 33333修正版
2、【广东省东莞市2019届高三第二次调研】在正方体
平面
，则直线
中，E是侧面
内的动点，且
与直线AB所成角的正弦值的最小值是
A． B． C． D．
3、如图，已知平面???，?I??l，A、B是直线l上的两点，C、D是平面?内的两点，且DA?l，
CB?l，AD?3，AB?6，CB?6．P是平面?上的一动点，且直线PD，PC与平面?所成角相等，
则二面角P?BC?D的余弦值的最小值是（ ）
A．
类型二 立体几何中动态问题中的距离问题
【例2】【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟】如图，在正方体为1，点为线段
上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（ ）
中，棱长
131 B． C． D．1
225修正版
A．当B．当为C．D．当
时，平面
的外接球表面为
中点时，四棱锥的最小值为时，
平面
【指点迷津】求两点间的距离或其最值.一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值. 【举一反三】
1、【河南省焦作市2018-2019学年高三三模】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
2.如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1棱长为4，点H在棱AA1上，且HA1?1，在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，|HP|2的最小值是（ ）
修正版
A．21 B．22 C．23 D．25
3、如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.
类型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题 【例3】在棱长为6的正方体
，则三棱锥
A. 36 B.
中，是
中点，点是面
所在的平面内的动点，且满足
的体积最大值是（ ）
，其底面的面积为不变的几何量，求点
C. 24 D.
【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥P到平面BCD的距离的最大值，选择公式，可求最值. 【举一反三】
1、《 九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵
ABC?A1B1C1中，AC?BC，若A1A?AB?2，当阳马B?A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC?A1B1C1的体积为（ ）
修正版
A． B．2 C.2 D．22 2、【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知矩形ABCD中， AB?6,BC?4， 且AE?DF，把四边形BCFE沿EF折起，使平面BCFE?平面ABCD，E,F分别是AB,CD上两动点，
若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ） A. 28? B.
83287?642? C. 32? D. 33，
，
，将
绕
边
3、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图，直角三角形旋转至
位置，若二面角
的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（ ）
A．
B． C． D．
类型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题 【例4】如图直三棱柱、
、
、
中，
为边长为2的等边三角形，
内部运动，并且始终有
，点、、、、分别是边平面
、
的中点，动点在四边形，则动点的轨迹长
度为（ ）
修正版
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