暨 南 大 学 考 试 试 卷
20_06_ - 20_07_ 学年度第__ _2_____学期 课程类别 必修[√] 选修[ ] 考试方式 开卷[ ] 闭卷[ √ ] 试卷类别(A、B) [ A ] 共 6 页 教 课程名称： 概率论与数理统计（内招生）_ 师 填 写 授课教师姓名： 邱青、 张培爱、 聂普焱 考试时间:__ 2007 年 _7 _ 月 __ 13_ 日 考 生 填 写 学院(校) 专业 班(级) 姓名 学号 内招[ ] 外招[ ] 题 号 得 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得分
1．某班共有30名学生，其中3名来自北京。今从班上任选2名学生去参观展览，其中恰有1名学生来自北京的概率为 27/145 。 2．一批产品的废品率为0.1，从中重复抽取m件进行检查，这m件产品中至少有1件废品的概率为
评阅人 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1?(0.m9)。
?2x,0?x?113．设连续型随机变量?~?(x)??，则P(??)? 1/4 。
2?0,其它4．设二元随机变量(?,?)的联合概率密度函数为
?ce?(x?y),0?x,y?1 ?(x,y)??0,其他,? 则c?(e?1?1)?2。
5．设随机变量?服从正态分布N(4,32)，则?的期望E?? 4 ，
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暨南大学《概率论与数理统计》试卷 12金工刘博
方差D?? 9 。 得分
1．设A、B、C为三个事件，则事件“A、B、C中恰有两个发生”可表示为（ (c) ）。
(a) AB?AC?BC； (b) A?B?C； (c) ABC?ABC?ABC； (d) ABC 2．已知随机变量?具有如下分布律
评阅人 二、单选题（共5小题，每小题3分，共15分。请
把正确答案填在题后的括号内）
??123???， ?pk0.1j? 且E(?2)?5.3，则j?（ (a) ）。
(a) 0.5； (b) 0.2； (c) 0； (d) 0.1 3．设随机变量?服从二项分布B(100,0.1)，则?的期望E?和方差D?分别为（ (b) ）。
(a) E?=10，D?=0.09； (b) E?=10，D?=9； (c) E?=90，D?=10； (d) E?=1，D?=3
?2e?2x,x?04．设随机变量?服从指数分布，其概率密度函数为?(x)??，则?的
?0,x?0期望E??（ (c) ）。
(a) 4； (b) 2； (c)
11； (d) 245．设?1,?2和?3为总体期望值?的三个无偏估计量，且D?1?D?2,D?1?D?3，则以下结论（ (d) ）成立。
(a) ?1是?的有效估计量； (b) ?2是比?1有效的估计量； (c) ?3是比?1有效的估计量； (d) ?1是比?2有效的估计量 得分 评阅人 三、计算题（本题12分）
设有相同规格的杯子13个，其中白色7个，绿色6个。现将其分放在甲、
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乙两个箱子中，在甲箱子中放入5个白色杯子和3个绿色杯子，其余的放入乙箱子中。
(1) 今从甲箱中任取一个杯子放入乙箱，再从乙箱中取出一个杯子，求取到白色杯子的概率。
(2) 若(1)题中从乙箱取出的是白色杯子，求从甲箱中取出绿色杯子放入乙箱的概率。
解 用B表示事件：“从乙箱中取出一个杯子为白色杯子”；
A表示事件：“从甲箱中任取一个放入乙箱的杯子为白色杯子”；
A表示事件：“从甲箱中任取一个放入乙箱的杯子为绿色杯子”。
（1）由全概率公式，所求事件的概率为：
5332527P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)???????. （7分）
8686161616（2）由贝叶斯公式，所求事件的概率为：
32?P(A)P(B|A)86?2. （12分） P(A|B)??77P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)16得分 评阅人 四、计算题（本题8分）
设随机变量?服从正态分布N(2,22)，求P(|??2|?2)及P(??1)。 解 由于?~N(2,22)，则??P(|??2|?2)?P(|??22~N(0,1)。于是
2|?)?P(|?|?1) 22?2?0(1)?1?2?0.8413?1?0.6826. （4分）??2
P(??1)?P(??21?2?)?P(???0.5)?1?P(???0.5) 22?1??0(?0.5)??0(0.5)?0.6915. （8分）得分 评阅人 五、证明题（本题10分）
?1设总体?的概率密度函数为?(x)?e2??(x??)22?2（?,?为参数，，且??0）
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(x1,x2,???,xn)为总体?的一组样本观察值。试证明?2的最大似然估计为
?2?1(x?x)2，其中x为样本观察值(x,x,???,x)的平均数。 ??i12nni?1n证明 似然函数为 L??i?1n12??2e?(xi??)22?2?(1n1)?(2)e?2?n2??(xi??)22?2i?11n，
1n1 lnL?nln()?ln?2?222?2??lnL1n?2?(xi??),???i?1?(x??)ii?1n2， （3分）
n?lnLn1?????22?22?4?(x??)ii?12.
?1n(xi??)?02???lnL?lnL??i?1??0 令得： ?n????22??n?1(x??)?0,?i24?2?i?1?2?由上述方程组解得?及?2的最大似然估计分别为
（7分）
nnn111222?????)? ? （10分） ?xi?x，(xi??(xi?x). ???ni?1ni?1ni?1于是结论得证. 得分 评阅人 六、应用题（本题10分）
1已知一批零件的长度（单位：dm）服从正态分布N(?,()2)，从中随机抽
5取9个零件，测得其长度如下：
6.11，5.89，5.98，6.00，6.10，5.90，6.02，5.90，6.10，
试求置信度为0.995的期望?的置信区间。
1解 令n?9，?2?()2，??0.005。样本的平均数为
51X?(6.11+5.89+5.98+6.00+6.10+5.90+6.02+5.90+6.10)=6.00，
9?由?0(u?)?1??1?0.0025?0.9975及参考数据得u??2.81. （4分）
2于是?nu??159?2.81?0.1873，从而置信度为0.995的期望?的置信区间为：
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