2019年【临门一脚】高考押题金卷(全国卷Ⅰ)数学(理)试卷(含答案)

11x2?a(a?2)（Ⅱ）f?(x)?，（?） ?2a?[?]?x?1(x?a)2(x?1)(x?a)2x2?a(a?2)当a?2时，?x?0，?f?(x)??0，函数f(x)在(0,??)上是增函数； 2(x?1)(x?a)当0?a?2时，由f?(x)?0，得x2?a(a?2)?0，解得x1??a(2?a)（负值舍去），

x2?a(2?a)，当a?2时，f?(x)?0，函数f(x)无极值点；

要使函数f(x)存在两个极值点，必有0?a?2，且极值点必为x1??a(2?a)，

x2?a(2?a)，又由函数定义域知，x??1，则有?a(2?a)??1，即

a(2?a)?1，化为(a?1)2?0，所以a?1，

所以，函数f(x)存在两个极值点时，正数a的取值范围是(0,1)?(1,2)．

?x1?x2?0,由（?）式可知，?

x?x?a(a?2),?122a2af(x1)?f(x2)?ln(1?x1)??ln(1?x2)?x1?ax2?a2a(x2?a?x1?a)?ln[(1?x1)(1?x2)]?(x1?a)(x2?a)

2a(x1?x2?2a)?ln(1?x1?x2?x1?x2)?x1x2?a(x1?x2)?a24a222?ln[(a?1)]??ln[(a?1)]??2,a(a?2)?a2a?122?2?0， 不等式f(x1)?f(x2)?4化为ln[(a?1)]?a?1令a?1?t(a?(0,1)?(1,2))，所以t?(?1,0)?(0,1)，

22令g(t)?ln(t)??2，t?(?1,0)?(0,1)．

t22当t?(?1,0)时，g(t)?2ln(?t)??2，ln(?t)?0,?0，所以g(t)?0，不合题意；

tt2112(t?1)?0，所以 当t?(0,1)时，g(t)?2lnt??2，g?(t)?2??2?(?2)?tttt22g(t)在(0,1)是减函数，所以g(t)?g(1)?2ln1??2?0，适合题意，即a?(1,2)．

1综上，若f(x1)?f(x2)?4，此时正数a的取值范围是(1,2)． ……………………12分

2?x??cos?,?m??cos(???0),22.解：（Ⅰ）由题意知：?和?

y??sin?,n??sin(???).?0??m??cos?cos?0??sin?sin?0,即?

n??sin?cos???cos?sin?,00?所以??m?xcos?0?ysin?0,?n?xsin? 0?ycos? ……5分

0.??m?22（Ⅱ）由题意知??2x?2y,?2x?2 ??n?22y,所以(222x?2y)(22x?22y)?2. 整理得x22?y22?1. ……10分

23.解：（1）证法一：

?a?b?c?2?(a?b?c)?2ab?2bc?2ca?(a?b?c)?(a?b)?(b?c)?(c?a)?3

?a?b?c?3 ……5分

证法二：

由柯西不等式得:

?a?b?c?2?(12?12?12)[(a)2?(b)2?(c)2]?3,

?a?b?c?3．

（2）证法一：

43a?1?(3a?1)?243a?1(3a?1)?4,?43a?1?3?3a 4?3?3b,4同理得3b?13c?1?3?3c，

以上三式相加得，

4(13a?1?13b?1?13c?1)?9?3(a?b?c)?6，

?1113???3a?13b?13c?12． ……10分

证法二：

由柯西不等式得:

111??)3a?13b?13c?1111?(3a?1??3b?1??3c?1?)2?9[(3a?1)?(3b?1)?(3c?1)](3a?13b?1?13a?1?13b?1?133c?1?2．

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