【分析】设AC，A1C1的中点分别为O，O1，以{间直角坐标系O﹣xyz， （1）由|cos值；
|=
}为基底，建立空
可得异面直线BP与AC1所成角的余弦
（2）求得平面AQC1的一个法向量为，设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ， 可得sinθ=|cos的正弦值．
【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中， 设AC，A1C1的中点分别为O，O1， 则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB， 故以{
}为基底，
|=
，即可得直线CC1与平面AQC1所成角
建立空间直角坐标系O﹣xyz， ∵AB=AA1=2，A（0，﹣1，0），B（C（0，1，0）， A1（0，﹣1，2），B1（
，0，2），C1（0，1，2）．
， ． ，0，0），
（1）点P为A1B1的中点．∴∴
，
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|cos|===； ）
．
∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：（2）∵Q为BC的中点．∴Q（∴
，
，
设平面AQC1的一个法向量为=（x，y，z），
由，可取=（，﹣1，1），
设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ， sinθ=|cos
|=
=
．
，
∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为
【点评】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．
26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……in，如果当s＜t时，有is＞it，则称（is，it）是排列i1i2……in的一个逆序，排列i1i2……in的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记fn（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的
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全部排列的个数．
（1）求f3（2），f4（2）的值；
（2）求fn（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．
【分析】（1）由题意直接求得f3（2）的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f4（2）的值；
（2）对一般的n（n≥4）的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，fn（1）=n﹣1．
为计算fn+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得fn+1（2）=fn（2）+fn（1）+fn（0）=fn（2）+n，则当n≥5时，fn（2）=[fn（2）﹣fn﹣1（2）]+[fn﹣1（2）﹣fn﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2），则fn（2）（n≥5）的表达式可求． 【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有
μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3， ∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，
对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；
（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴fn（0）=1．
逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，fn（1）=n﹣1．
为计算fn+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，fn+1（2）=fn（2）+fn（1）+fn（0）=fn（2）+n．
当n≥5时，fn（2）=[fn（2）﹣fn﹣1（2）]+[fn﹣1（2）﹣fn﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）
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=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=因此，当n≥5时，fn（2）=
．
．
【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．
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