专题对点练25 7.1~7.3组合练
(限时90分钟,满分100分)
专题对点练第41页 一 、选择题(共9小题,满分45分)
1.(2017河南焦作二模,理8)已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF=( )
A.45° 答案 A
B.30°
C.15°
D.60°
解析 由题意,|MF|=p,则设点M,
∵K,∴kKM=1,∴∠MKF=45°,故选A.
2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )
A.- 答案 A
B.- C. D.2
解析 由x2+y2-2x-8y+13=0,
得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).
因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,
解得a=-,故选A.
3.(2017辽宁鞍山一模,理10)已知点P在抛物线x2=4y上,则当点P到点Q(1,2)的距离与点
P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为( )
A.(2,1) 答案 D
B.(-2,1) C. D.
解析 如图,由几何性质可得,从Q(1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将x=1代
入x2=4y,可得y=,点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为,故选D.
4.(2017河北保定二模,理9)当双曲线方程为( )
=1的焦距取得最小值时,其渐近线的
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x 答案 B
D.y=±x
解析 由题意,焦距2c=2
=2,
当m=1时,双曲线的焦距最小,
此时双曲线的方程为=1,其渐近线的方程为y=±x,故选B.
5.(2017广西南宁一模,理11)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),M,N在
双曲线C上,O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为则双曲线C的离心率为( ) A.
B.2
C.2
D.2
cb,
答案 D
解析 双曲线C:=1(a>0,b>0)焦点在x轴上,
设M(x0,y0),y0>0,由四边形OFMN为平行四边形,得点M,N关于y轴对称,
且|MN|=|OF|=c,∴x0=-, 四边形OFMN的面积为
cb,∴|y0|c=cb,即|y0|=b,
∴M得e=2
,代入双曲线可得
,故选D.
=1,整理得-2=1.由e=,∴e2=12,由e>1,解
6.(2017福建厦门二模,理6)已知A,B为抛物线E:y2=2px(p>0)上异于顶点O的两点,△AOB是等边三角形,其面积为48A.2 答案 A
解析 设B(x1,y1),A(x2,y2),
B.2
,则p的值为( )
C.4
D.4
∵|OA|=|OB|,∴又=2px1,=2px2,
.
∴+2p(x2-x1)=0,
即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.
又∵x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0,
∴x2-x1=0,即x1=x2.
由抛物线对称性,知点B,A关于x轴对称,
不妨设直线OB的方程为y=联立y2=2px,解得B(6p,2
x,
p), p,
∴|OB|==4
∴·(4p)2=48,∴p=2,故选A.
7.(2017河南洛阳三模,理11)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A.答案 B
B.+1 C. D.-1
解析 过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|,
∴.
设PA的倾斜角为α,则sin α=,当m取得最大值时,sin α最小,此时直线PA与抛物线相切.
设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0,
∴Δ=16k2-16=0,∴k=±1,∴P(2,1), ∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(
-1),
∴双曲线的离心率为+1.故选B.
8.(2017天津,理5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为,若经过F和
P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
答案 B
解析 设双曲线半焦距为c(c>0),
则双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=±x.
∵点P的坐标为(0,4),∴直线PF的斜率为k=.
由题意得. ∵双曲线的离心率为,∴. 在双曲线中,a2+b2=c2, 联立①②③解得a=b=2
,c=4.
∴所求双曲线的方程为=1.故选B.
9.(2017全国Ⅰ,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
①
② ③
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