专题2 三角函数与解三角形
一、三角函数的图象与性质
1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质是什么?
函数 y=sin x y=cos x 图象 [2kπ-π递增 ,2kπ] 区间 k∈Z ,k∈Z [2kπ 2 递减 kπ+π] 区间 , k∈Z y=tan x ,k∈Z 无 ,k∈Z 奇函数 奇偶性 奇函数 偶函数 对称 (kπ 0) 中心 k∈Z , ,k∈Z k∈Z 对称x=kπ+ , x=kπ k无 轴 ∈Z k∈Z 周期2π π 性 2π 2.求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时应注意什么?
(1)注意ω的符号,不要把单调性或区间左右的值弄反;
(2)不要忘记写“+2kπ”或“+kπ”等,特别注意不要忘掉写“k∈Z”;
(3)书写单调区间时,不要把弧度和角度混在一起.
3.三角函数的常用结论有哪些?
(1)对于y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时,其为奇函数;当
φ=kπ+ (k∈Z)时,其为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+ (k∈Z)求得.
(2)对于y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时,其为奇函数;当
φ=kπ(k∈Z)时,其为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求
得.
(3)对于y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时,其为奇函数. 4.三角函数图象的两种常见变换是什么? (1)y=sin xy=sin(x+φ)
y=Asin(ωx+φ).(A>0,ω>0) y=sin ωxy=sin(ωx+φ)
(2)y=sin xy=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ).(A>0,ω>0)
二、三角恒等变换与解三角形
1.同角关系公式有哪些?如何记忆诱导公式?
(1)同角关系:sin2α+cos2α=1,
=tan α.
(2)诱导公式,对于“±α,k∈Z的三角函数值”与“角α的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限. 2.你能写出两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、辅助角公式吗?
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式: sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β;
tan(α±β)= ?
.
(2)二倍角公式:sin 2α=2sin αcos α,
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)辅助角公式:asin x+bcos x= sin(x+φ),其中tan
φ= .
3.在三角恒等变换中,常见的拆角、拼角技巧有哪些?
α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),α= [(α+β)+(α-β)]
,α+=(α+β)- - ,α= -.
4.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是什么? 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)正弦定理: 在△ABC中,
===2R(R为△ABC的外接圆半径).
变形:a=2Rsin A,sin A=,a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. (2)余弦定理:
在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A. 变形:b+c-a=2bccos A,cos A=(3)三角形面积公式:
2
2
2
-
.
S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B.
5.已知三角形两边及其一边的对角,用正弦定理解三角形时要注意什么?
若运用正弦定理,则务必注意可能有两解,要结合具体情况进行取舍.在△ABC中,A>B?sin A>sin B.
三角函数与解三角形是高考考查的重点和热点.三角函数的定义、图象、性质以及简单的化简与求值主要以选择题、填空题的形式考查.其中同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式是解决化简、计算问题的工具 “角”的变换是三角恒等变换的核心.解三角形多以解答题的形式考查,常与三角恒等变换结合,主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.
一、选择题和填空题的命题特点
(一)三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点,考查主要从以下两个方面进行:(1)三角函数的图象,主要涉及图象变换以及由
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