第四章 大数定律与中心极限定理
4.1 设D(x)为退化分布： D(x)=??1,x?0
?0,x?0,11)}; (3){D(x-)}，其中n=1,2,?。 nn讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？ (1){D(x+n)}; （2）{D(x+
解：（1）（2）不是；（3）是。
4.2 设分布函数列Fn(x)如下定义：
x??n?0, ?x?n?Fn(x)=?, ?n?x?n
2n? x?n??1, 问F(x)=limFn(x)是分布函数吗？
n??解：不是。
4.3 设分布函数列{ Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{Fn(x)}在(??,?)上一致收敛于F(x)。
证：对任意的ε>0,取M充分大，使有
1-F(x)<ε，?x?M； F(x)<ε, ?x?M；
对上述取定的M，因为F(x)在[-M，M]上一致连续，故可取它的k分点：x1=M F(xi?1)?F(xi)?ε，0?i 这时存在N，使得当n>N时有 Fn(xi)?F(xi)?ε，0?i?k+1 （2） 成立，对任意的x?(??,?)，必存在某个i（0?i?k）,使得x?(xi,xi?1],由(2)知当n>N时有 Fn(x)?Fn(xi?1)?F(xi?1)?ε, (3) Fn(x)?Fn(xi)?F(xi)?ε, (4) 有(1)，(3)，(4)可得 Fn(x)?F(x)?F(xi?1)?F(x)?ε?F(xi?1)?F(xi)+ε<2ε, Fn(x)?F(x)>F(xi)?F(x)?ε?F(xi)?F(xi?1)????2ε, 即有Fn(x)?F(x)?2ε成立，结论得证。 4.4 设Fn(x)是只取非负整数值的离散型随机变量，又{Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)也是只取非负整数值的离散型随机变量的分布函数。 证：只要证明对任意的非负整数k，若x1,x2?（k,k+1），必有F(x1)=F(x2)成立即可。设 k?x1?x2?k?1，总能够找到x3,x4，使有k?x3?x1?x2?x4?k?1，且x3,x4是 F(x)的连续点。这时limFn(xi)=F(xi)（i=3,4）成立，已知Fn(x)仅在非负整数点上有跳跃， n??所以对任意的n有Fn(x3)=Fn(x4)，从而F(x?)=limFn(x3)=limFn(x4)=F(x4)，由此 n?? n??知F(x1)?F(x2)，结论得证。 4.5 设随机变量序列{ξ}同时依概率收敛于随机变量ξ与η，证明这时必有P(ξ=η)=1。 证：对任意的ε>0有(????ε?[?-?n?ε??n???)],故 22εε0?P(????ε)?P(?-?n?)?P(?n-??)?0,n?0 22?即对任意的ε>0有P(????ε)=0成立，于是有 ?11P(???)?P[?(????)]??P(????)?0, k?1kkk?1?从而P(???)?1成立，结论得证。 4.6 设随机变量序列{?n}，{?n}分别依概率收敛于随机变量ξ与η，证明： ??ξ+η；(2) ?n??n???ξ?η。 (1)?n??n?证：（1）因为(?????n??n??)?[(???n?PP?)?(???n?)]，故 22?0?P(?????n??n??)?P(???n?)?P(???n?)?0,n?? 22????ξ+η成立。 即?n??n?P2(2)先证明这时必有?n????2。对任给的??0,??0,取M足够大 P（?M?1)，使有P(??M?1)??成立，对取定的M，存在N，当n>N时有2P(?n???1)?P(?n??? ?M)?? 4.7设随机变量序列?n?a，a?0是一个常数，且?n?0,证明p1?。 ?nap122证：不妨设a>0，对任意的0 ??n?a???n?a??因而????????。于是有 2??na?????a?a???????n?a?11?????a?????P?????P???n??a????a??n???n?0 ????????a????n??????P????n????????? ???n?a?P?2????P?n?a???0,n??。?a?a??????结论成立。 4．8 设随机变量序列｛ ?n｝依概率收敛于随机变量?， mf?x?为直线上的连续函数，证明f?x???aixi是m次多项式函数，i?0 p由4.6题知有f??n????f???成立结论为真。现在证明一般情形。对任意的 ??0,??0,取M充分大使有P??于是有P?n?M?1?P?M??,又选取N1充分大使当n?N1时有P???n?1??,n?????????M????????1??2?,对取定的M,因为f?x?是连续函数，可?以用多项式函数任意逼近，并且在任意有限区间上还可以是一致的，因而有m次多项式gm?x?，使有f?x??gm?x??p,x????M?1?,M?1?,对取定的m次多项式gm?x?,因为gm??m????gm???,??3n??,故存在N2使当n?N2时有 Pgm????gm??n??成立，又 ?????? 3??P??f????f??n?????????M????n?M?1????I1?I2,P?f????f??n??????P??f????f??n?????????M????n?M?1??? 当n?max?N1,N2?时，其中的I1?P且因为 ???M??P??n?M?1??3?, ???????????f????f????????????????????f??g???g??g???g??f?????????,?n??m3??mmn3??mnn3??而 P??????f????g?????3??????M?????m?n?M?1?? ??0, P??????g?????mn??f??n??3??????M????n?M?1????0,所以 I??????g??????2?P??gm??m??n??3??????M????n?M?1????P??gm????gm??n??3????,从 而 有 P?f????f??n?????I1?I2?4?成立，由?，?的f??pn????f???成4.9证明随机变量序列??n?依概率收敛于随机变量?的充要条件为： E?n??1???0,n?? n??证：充分性，令 f?x??x1?x,x?0,则f'(x)?1(1?x)2?0,x?0,故f(x)是x(x?0)的单调上升函数，因而???n????????n????????1???,于是有?1??n?? P???n??????P??n????????1??E?n???0,n?? ?1??n??1?????1??n??对任意的??0成立，充分性得证。 必要性，对任给的??0,令A????:?n?????,因为?pn????,故存在充分大的N,使得当n?N时有P(A?)??,于是有 E?n??1???E???n?????n????IA????E??IA??n???1??n????1??n????P(A??)???2?, 由?的任意性知E?n??1???0,n??,结论为真。 n??4.10设随机变量?n按分布收敛于随机变量 ?，又数列an?a，bn?b，证明 an?n?bn也按分布收敛于a??b。 证：先证明a?n按分布收敛于a?。a?0时为显然，不妨设a?0（a?0时 任
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