T——有理数
一、知识梳理：
二、考点分类
基础知识：
?正数、负数的定义
正数：大于0的数；负数：正数前面加“－”号（小于0的数）
?
1、正数和负数?具有相反意义的量
??0的含义0：既不是正数也不是负数。
2、有理数分类：①按定义分类为： ②按性质分类为：
?正整数?正整数??正有理数?
?整数?零?正分数
??负整数 有理数零有理数
??
?正分数??分数负分数
??
?????
?
负整数
?负有理数?负分数
??
???
（1）.数轴三要素:(1)原点(2)正方向(3)单位长度
（2）．数轴上的点与有理数间的关系①原点表示零②原点右边的点表示正数③原点左边的点表示负数 考点一：相反数
1.相反数：只有符号不同的两个数．(1)a的相反数是－a，0的相反数是0.(2)互为相反数的两个数和为0.
2．多重符号的化简(1)偶数个“－”号，结果为正数．(2)奇数个“－”号，结果为负数． 11
【例1】写出下列各数的相反数：16，－(－8)，0，－(＋15)，－[－(＋6)]，－，m，
82015－n.
解析：只需将各数前面的正、负号换一下即可，但要注意0的相反数是0. 11
解：－16，-8，0，15，-6，，－m，n.
82015
方法总结：求一个数的相反数，只需改变它前面的符号，符号后面的数不变；0的相反数是0.
【例2】(1)数轴上离原点3个单位长度的点所表示的数是________，它们的关系为____________．
(2)在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，点A在点B的左侧，并且这两个数的距离是12.8，则A＝______，B＝______．
解析：(1)左边距离原点3个单位长度的点是－3；右边距离原点3个单位长度的点是3，∴距离原点3个单位长度的点所表示的数是3或－3.它们互为相反数；(2)∵点A和点B分别表示互为相反数的两个数，∴原点到点A与点B的距离相等，∵A、B两点间的距离是12.8，∴原点到点A和点B的距离都等于6.4.∵点A在点B的左侧，∴这两点所表示的数分别是－6.4，6.4.
方法总结：本题考查了相反数的几何意义，解题时应从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数到原点距离相等，这种“利用概念解题，回到定义中去”是一种常用的解题技巧． 考点二：绝对值
1．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|.
2．绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0
a（a>0）???a（a≥0）?
的绝对值是0.用符号表示为：|a|＝?0（a＝0）或|a|＝?
?－a（a<0）???－a（a<0）
【例3】－3的绝对值是_________；如果一个数的绝对值等于，则这个数是__________．
2
3
解析：根据一个负数的绝对值是它的相反数，所以－3的绝对值是3. 222222 ∵或－的绝对值都等于，∴绝对值等于的数是或－. 333333
方法总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.绝对值等于某一个数的值有两个，它们互为相反数，0除外． 【例4】若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值．
解析：由绝对值的性质可知|a－3|≥0，|b－2015|≥0，则有|a－3|＝|b－2015|＝0. 解：由绝对值的性质得|a－3|≥0，|b－2015|≥0，又因为|a－3|＋|b－2015|＝0，所以|a－3|＝0，|b－2015|＝0，所以a＝3，b＝2015.
方法总结：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0------绝对值的非负性。 考点三：比较有理数的大小
1．借助数轴比较有理数的大小：在数轴上右边的数总比左边的数大
2．运用代数比较有理数的大小：正数>0;负数<0;正数>负数;负数与负数,绝对值大的反而小 【例5】已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示．比较a、b、－a、－b的大小，正确的是( )
A．a＜b＜－a＜－b
B．b＜－a＜－b＜a C．－a＜a＜b＜－b D．－b＜a＜－a＜b
解析：由图可得a＜0＜b，且|a|＜|b|，则有：－b＜a＜－a＜b.故选D.
方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小．
【例6】比较下列各对数的大小：
33(1)3和－5；(2)－3和－5；(3)－2.5和－|－2.25|；(4)－和－.
54
解析：(1)根据正数大于负数；(2)、(3)、(4)根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
解：(1)因为正数大于负数，所以3＞－5；
(2)因为|－3|＝3，|－5|＝5，3＜5，所以－3＞－5；
(3)因为|－2.5|＝2.5，－|－2.25|＝－2.25，|－2.25|＝2.25，2.5＞2.25，所以－2.5＜－|－2.25|；
33333333(4)因为|－|＝，|－|＝，＜，所以－<－.
55445445
方法总结：在比较有理数的大小时，应先化简各数的符号，再利用法则比较数的大小． 考点四：有理数运算 1、有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同符号,并把绝对值相加.
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0.
(3)一个数同0相加,仍得这个数.
?交换律：a＋b＝b＋a?
2、有理数加法运算律?
?结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）?
3、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a－b＝a＋(－b)．
利用有理数减法法则，可以将有理数减法统一成加法运算． 4、有理数的乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数与0相乘都得0. （3）倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
5、乘法交换律：a×b＝b×a；乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c.
6、多个有理数相乘的法则：几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数是偶数时,积为正;负因数的个数是奇数时,积为负,并把绝对值相乘.几个数相乘,如果其中有因数为0,积等于0. 7、有理数除法法则：
1
（1）任何数除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，即a÷b＝a×(b≠0)．
b（2）两个数相除，同号为正，异号得负，并把绝对值相除．(2)0除以任何一个不为0的数，都得0.
8、有理数的乘方
（1）有理数乘方的意义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a中,a叫做底数，n叫做指数，当a看作a的n次方的结果时，也可读作“a的n次幂”。 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
9、有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
1.先乘方,再乘除,最后加减；2.同级运算,从左到右进行;
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括括号、中括号、大括号依次进行
11213
【例7】(1)(－5)－(－5)×÷×(－5)；(2)－1－{(－3)－[3＋×(－1)]÷(－2)}．
101032
解析：(1)题是含有减法、乘法、除法的混合运算，运算时，一定要注意运算顺序，尤其是本题中的乘除运算．要从左到右进行计算；(2)题有大括号、中括号，在运算时，可从里到外进行．注意要灵活掌握运算顺序．
解：(1)(－5)－(－5)×＝－30；
213
(2)－1－{(－3)－[3＋×(－1)]÷(－2)}
32
23
＝－1－{－27－[3＋×(－)]÷(－2)}＝－1－{－27－2÷(－2)}＝－1－{－27－(－
321)}＝－1－(－26)＝25.
方法总结：有理数的混合运算可用下面的口诀记忆：混合运算并不难，符号第一记心间；加法需取大值号，乘法同正异负添；减变加改相反数，除改乘法用倒数；混合运算按顺序，乘方乘除后加减．
数字规律探索
【例8】为了求1＋2＋2＋2＋2＋…＋2＝2＋2＋2＋2＋…＋2
2
3
4
20162
3
4
2015
n
n
111
÷×(－5)＝(－5)－(－5)××10×(－5)＝(－5)－25101010
的值，可令S＝1＋2＋2＋2＋…＋2－1，所以1＋2＋2＋2＋…＋2
2
3
2015
232015
，则2S－1，
，因此2S－S＝2
2
2015
2016
＝2
2016
仿照以上推理，那么1＋5＋5＋…＋5＝________．
2
3
解析：观察等式，可发现规律，根据规律即可进行解答．则设S＝1＋5＋5＋5＋…＋5
2015
，5S＝5＋5＋5＋5＋…＋5
2342016
，5S－S＝5
2016
5
－1，∴S＝
2016
－15－1，故填. 44
2016
方法总结：解规律性问题的关键在于发现规律，应用规律解题．
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