风险与收益
第一节 风险与收益的度量
T
?
一、风险
尽管风险与不确定性有密切的联系，但二者有着本质的区别。
风险是指决策者面临的这样一种状态，即能够事先知道事件最终呈现的可能状态，并且可以根据经验知识或历史数据比较准确的预知可能状态出现的可能性的大小，即知道整个事件发生的概率分布。
在不确定性的状态下，决策者是不能预知事件发生最终结果的可能状态以及相应的可能 性大小即概率分布。
风险定义：风险是指未来的结果是不确定的，但未来哪些结果会出现及各结果出现的可能性，即其概率分布，是已知的或是可以估计的这样一种不确定性。
二、单个证券的风险和收益 1．期望收益
期望收益是指持有单一证券的投资者期望在下一个时期所能获得的收益。单个证券的期 望收益可以简单地以过去一段时期从这一证券获得的平均收益来表示。即：
R
??? PR
i ?1
i i
2．方差和标准差
评价证券收益变动的方法最为常用的是方差和标准差。方差是证券的实际收益与其平均收益的离差的平方和的平均数。标准差是方差的平方根。即：
VAR T ?? ??
21 ??R ??? R 2 1 ???R ??2 R ??... ???R ??T R ?21
?
SD ????VAR
例子：某公司有 A 和 B 两个投资机会，概率分布和预期报酬率如下： 经济情况 发生概率 A B 繁荣 0.3 90% 20% 正常 0.4 15% 15% 衰退 0.3 -60% 10% 合计 1 可以计算得出，两个投资机会的期望收益相同，都为15%，但是A项目的标准差为58.09%，B 项目的标准差为 3.87%，说明 A 项目的风险比 B 项目大。
三、投资组合的收益和风险
投资组合理论认为，若干种证券组成的投资组合，其收益是这些证券收益的加权平均数，但是其风险不是这些证券风险的加权平均风险，投资组合能降低风险。
1．组合的期望收益
组合的期望收益是构成组合的各个证券的期望收益的简单加权平均。其计算公式为：
组合的期望收益 ? X R ??X R A A B B
其中，R
和 R
分别为两种证券的收益率， X 和 X 分别表示资产 A 和 B 在投资组合中
A
B
A
B
所占的比例。
例子： Supertech 公司 Slowpoke 公司 期望收益 17.5% 5.5% 假设 60%投资于 Supertech 公司，40%投资于 Slowpoke 公司，这一投资组合的期望收益
为：
组合的期望收益??0.6%?17.5% ??0.4??5.5% ??12.7%
2．组合的方差和标准差
协方差是一个度量两个变量之间相互关系的统计指标。协方差的数学公式可以写作：
???? Cov?RA , RB
AB
A
A
B
B
、 R 表示两种证券的期望收益率， R 、 R 表示两种证券的实际收益率。 其中， R A B A B 如果两个收益率相互之间正相关，它们就会有个正的协方差。如果它们之间负相关，协
方差是负的。如果它们不相关，协方差为零。
证券组合的标准差，并不是单个证券标准差的简单加权平均。证券组合的风险不仅取决于组合内的各证券的风险，还取决于各个证券之间的关系。
由 A 和 B 两种证券构成的投资组合的方差是：
Var ?
?组合
X
2XB?
?AB ?2 A A X
??X2 A B ?
2B2
在证券方差给定的情况下，两种证券收益呈现正相关或协方差是正，会增加整个组合的
方差；两种证券收益呈现负相关或协方差是负，会降低整个组合的方差。
例子： Supertech 公司 Slowpoke 公司 方差 0.066875 0.013225 标准差 0.2586 0.1150
推算出协方差为-0.004875，则该投资组合方差是：
0.36??0.066875 ??2????0.6??0.4???-0.004875??????0.16??0.013225 ??0.023851
投资组合的标准差为：
? = Var ?组合?
P
本例为：??= 0.023851 ??0.1544
P
????X ? ??0.6?0.2586 ??0.4??0.115 ??0.2012
3．投资组合多元化的效应
X A A B B
单个证券标准差的加权平均是： ?
各个证券标准差的加权平均数
可见，组合的标准差小于组合中各个证券标准差的加权平均数，体现了组合多元化效应的缘故。
4．相关系数
相关系数ρ 是一个衡量两个变量之间的相互关系的统计指标，在公司理财中等于两个
公司股票收益的协方差除以两个公司股票收益的标准差的乘积。其计算公式为：
?
? Cv ?RA , RB AB ????
A B o
?
0
.0036
相关系数ρ 的取值总是介于-1 和 1 之间。ρ 的值为正，表明两种证券的收益有同向变
动的倾向；ρ 的值为负，表明两种证券的收益有反向变动的倾向；ρ 的值为零，表明两种证券之间没有联动趋向。
ρ ＝1 和ρ ＝-1 是两种极端情形：前者表明两种证券间存在完全正向的联动关系；后者 表明存在完全反向的联动关系。随着ρ 的绝对值的下降，两种证券间的联动关系也逐渐减弱。
投资组合具有多元化的效应，即当由两种证券构成投资组合时，只要相关系数 ?????1，AB 组合的标准差就小于这两种证券各自的标准差的加权平均数。这种组合的效应可以推广到多
种资产构成的组合的情况。
例子：假设 A 证券的期望报酬率为 10%，标准差是 12%。B 证券的期望报酬率是 18%，标准差是 20%。假设等比例投资于两种证券，即各占 50%。
该组合的期望报酬率为：
rp ??10% ??0.50 ?18% ??0.50 ??14%
如果两种证券的相关系数等于 1，没有任何抵消作用，在等比例投资的情况下该组合的标准差等于两种证券各自标准差的简单算术平均数，即 16%。
如果两种证券之间的预期相关系数是 0.2，组合的标准差会小于加权平均的标准差，其标准差是：
???p
0.5??0.5??0.122 ??2??0.5??0.5??0.20??0.12??0.2 ??0.5??0.5??0.22 ? ??0.0024 ??0.01 12.65% ?
从这个计算过程可以看出：只要两种证券之间的相关系数小于 1，证券组合报酬率的标 准差就小于各证券报酬率标准差的加权平均数。
股票 A 的期望收益率为 20%，股票 B 的期望收益率为 12%。以方差表示的股票 A 的风险 是股票 B 的 3 倍。如果两只股票之间的相关系数为 0，那么由两只股票组成的最小方差组合 的期望收益率为（ ）。[中国人民大学 2012 金融硕士]
A．16% B．14% C．12%
D．以上都不是 【答案】C
【解析】相关系数为 0 表明两只股票组成的资产组合不会存在分散风险的效果，风险小的股票将组成最小方差组合。
第二节 均值方差模型
一、均值方差模型的含义
投资者将一笔给定的资金在一定时期进行投资。在期初，他购买一些证券，然后在期末卖出。在期初，他要决定购买哪些证券以及资金在这些证券上如何分配，即投资者需要在期初从所有可能的证券组合中选择一个最优的组合。
投资者的决策目标有两个：尽可能高的收益率和尽可能低的不确定性风险。最好的目
标是使这两个相互制约的目标达到最佳平衡。
二、均值方差模型的假设
投资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一持仓时间内的证券投资的概率分布。投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。 投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益。
在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的，在一定的收益水平上，投资者希望风险最小。
经济学意义为：投资者可预先确定一个期望收益，并确定投资者在每个投资项目（股票）上的投资比例（项目资金分配），使其总投资风险最小。
三、两种证券组合的投资比例与有效集
如果投资比例变化，投资组合的期望报酬率和标准差也会发生变化。
表 6-1 不同投资比例的组合 组合 1 2 3 4 5 6 对 A 的投资比例 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 对 B 的投资比例 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 组合期望收益率 10% 11.6% 13.2% 14.8% 16.4% 18% 组合标准差 12% 11.11% 11.78% 13.79% 16.65% 20%
如果相关系数为 0.2，可得图： 图 6-1 投资于两种证券组合的机会集 该图有几项特征是非常重要的： （1）它揭示了分散化效应
比较曲线和以虚线绘制的直线的距离可以判断分散化效应的大小。该直线是由全部投资于 A 和全部投资于 B 所对应的两点连接而成。它是当两种证券完全正相关（无分散化效应）时的机会集曲线。曲线则代表相关系数为 0.2 时的机会集曲线。
从曲线和直线间的距离，可以看出本例的风险分散效果是相当显著的。投资组合的抵消风险的效应可以通过曲线 1-2 的弯曲看出来。从第 1 点出发，拿出一部分资金投资于标准差较大的 B 证券会比将全部资金投资于标准差小的 A 证券的组合标准差还要小。
（2）它表达了最小方差组合
曲线最左端的第 2 点组合被称作最小方差组合，它在持有证券的各种组合中有最小的
标准差。本例中，最小方差组合是 80%的资金投资于 A 证券、20%的资金投资于 B 证券。离开此点，无论增加或減少投资于 B 证券的比例，都会导致标准差的小幅上升。必须注意的是， 机会集曲线向点 A 左侧凸出的现象并非必然伴随分散化投资发生，它取决于相关系数的大小。
（3）它表达了投资的有效集合
在只有两种证券的情况下，投资者的所有投资机会只能出现在机会集曲线上，而不会出现在该曲线上方或下方。改变投资比例只会改变组合在机会集曲线上的位置。最小方差组合以下的组合（曲线 1-2 的部分）是无效的。没有人会打算持有预期报酬率比最小方差组合预期报酬率还低的投资组合，他们比最小方差组合不但风险大，而且报酬低。因此，机会集曲线 1-2 的弯曲部分是无效的，他们与最小方差组合相比不但标准差大（即风险大），而且报酬率也低。本例中，有效集是 2-6 之间的那段曲线，即从最小方差组合点到最高预期报酬率组合点的那段曲线。
三、相关性对风险的影响
如果增加一条相关系数为 0.5 的机会集曲线，得图 6-2。
从图 6-2 中可以看到：
（1）相关系数为 0.5 的机会集曲线与完全正相关的直线的距离缩小了，并且没有向点 1 左侧凸出的现象。
（2）最小方差组合是 100%投资于 A 证券。将任何比例的资金投资于 B 证券，所形成的投资组合的方差都会高于将全部资金投资于风险较低的 A 证券的方差。因此，新的有效边界就是整个机会集。
（3）证券报酬率的相关系数越小，机会集曲线就越弯曲，风险分散化效应也就越强。证券报酬率之间的相关系数越大，风险分散化效应就越弱。完全正相关的投资组合，不具有风险分散化效应，其机会集是一条直线。
四、资本市场线
如图 6-3 所示，从无风险资产的报酬率开始，做有效边界的切线，切点为 M，该直线被称为资本市场线。
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