点评： 本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法是关键．
21．（13分）如图，椭圆C1：
=1（a＞b＞0）的离心率为
，x轴被曲线C2：y=x﹣b
2
截得的线段长等于C1的长半轴长． （Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E． （i）证明：MD⊥ME；
（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得理由．
=
？请说明
考点： 圆锥曲线的综合．
专题： 计算题；综合题；压轴题；转化思想．
2
分析： （Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程； （Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出kMA?kMB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；
（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．
解答： 解：（Ⅰ）由题得e=故C1，C2的方程分别为
，从而a=2b，又2，y=x﹣1．
2
=a，解得a=2，b=1，
（Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx， 由
得x﹣kx﹣1=0．
2
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，
于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为（0，﹣1）， 所以kMA?kMB=
=
=
=
=﹣1．
故MA⊥MB，即MD⊥ME．
（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1． 由
，解得
2
或．
则点A的坐标为（k1，k1﹣1）． 又直线MB的斜率为﹣
，同理可得点B的坐标为（﹣
，
﹣1）．
于是s1=|MA|?|MB|=?|k1|?
?|﹣|=．
由
得（1+4k1）x﹣8k1x=0．
22
解得或，，则点D的坐标为（，）．
又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为（，）．
于是s2=|MD|?|ME|=
2
．
故=
，解得k1=4或k1=．
22
又由点A，B的坐标得，k=
=k1﹣
．所以k=±．
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=﹣x．
点评： 本题是对椭圆与抛物线以及直线与抛物线和直线与椭圆的综合问题的考查．是一道整理过程很麻烦的题，需要要认真，细致的态度才能把题目作好． 22．（14分）设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点． （1）求常数b的值；
（2）当0≤x≤1时，关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围； （3）求证：（
）
10000.4
＜e＜（）
1000.5
．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 综合题；导数的综合应用．
分析： （1）对f（x）求导，根据条件知f′（0）=0，即可求常数b的值；
（2）f′（x）=﹣aln（1+x）+性，即可求实数a的取值范围；
﹣1，f″（x）=﹣，分类讨论，确定函数的单调
（3）对要证明的不等式等价变形如下：（）
10000.4
＜e＜（）
1000.5
．所以可以考虑
证明：对于任意的正整数n，不等式＜e＜恒成立． ﹣b，
解答： （1）解：对f（x）求导得：f′（x）=﹣aln（1+x）+根据条件知f′（0）=0，所以1﹣b=0， 所以b=1．（3分）
（2）解：由（1）得f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1 f′（x）=﹣aln（1+x）+f″（x）=﹣
．
﹣1
①当a≤﹣时，由于0≤x≤1，有f″（x）≥0，于是f′（x）在[0.1]上单调递增，从而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递增，即f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0；
②当a≥0时，由于0≤x≤1，有f″（x）＜0，于是f′（x）在[0.1]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0.1]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0； ③当﹣＜a＜0时，令
，当0≤x≤m时，f″（x）＜0，于是f′（x）在[0，
m]上单调递减，从而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上单调递减， 即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0．
综上可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．（8分） （3）证明：对要证明的不等式等价变形如下：（
）
10000.4
＜e＜（）
1000.5
．
所以可以考虑证明：对于任意的正整数n，不等式＜e＜恒成立．
并且继续作如下等价变形
对于（p）相当于（2）中a=﹣∈（﹣，0），f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0． 取x=，当n≥2时，（p）成立； 当n=1时，（p）成立．
从而对于任意正整数n都有（p）成立．
情形，有f（x）在[0，]上单调递减，即
对于（q）相当于（2）中a=﹣情形，对于任意x∈[0，1]，恒有f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0．
取x=，得：对于任意正整数n都有（q）成立．
因此对于任意正整数n，不等式＜e＜恒成立．
这样依据不等式右边，即可得到（
）
＜e＜
10000.4
，再令n=10000利用左边，令n=1000利用）
1000.5
＜e＜（成立．（12分）
点评： 本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单
调性、极值以及函数零点的情况．本小题对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求．
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