闸北区2014学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷
考生注意：
1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．
2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．
3. 本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每
个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．若复数
a?2i（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a? ． 1?2ix?2(x?0)图像上，则PA的最小值为 ． x2．若f(x)为R上的奇函数，当x?0时，f(x)?log2(2?x)，则f(0)?f(2)? ． 3．设定点A(0,1)，若动点P在函数y?4．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有 个．
124n?1?125．设n?N，圆Cn:(x?)?(y?1)?n的面积为Sn，则limSn? ．
n???n4?1?6．在Rt?ABC中，AB?AC?3，M,N是斜边BC上的两个三等分点，则AM?AN的值为 ． 7．设函数f(x)?15sin(?x)，若存在x0?(?1,1)同时满足以下条件：①对任意的x?R，都有2f(x)?f(x0)成立；②x02?[f(x0)]2?m2，则m的取值范围是 ．
28．若不等式x?x?1?a的解集是区间??3，3?的子集，则实数a的取值范围为 ． 9．关于曲线C:x?y?1，给出下列四个结论： ①曲线C是双曲线； ②关于y轴对称；
③关于坐标原点中心对称； ④与x轴所围成封闭图形面积小于2． 则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确结论的序号都填上） 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确
的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.
43?ax?2y?3a?2x,y10．“”是“关于的二元一次方程组?有唯一解”的 【 】
x?(a?1)y?1? A．必要不充分条件； B．充分不必要条件；
·1·
C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．
11．已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是 【 】
A．若a3?0，则a2015?0； B．若a4?0，则a2014?0； C．若a3?0，则S2015?0； D．若a4?0，则S2014?0．
12．对于集合A，定义了一种运算“?”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素e?A，
使得对任意a?A，都有e?a?a?e?a，则称元素e是集合A对运算“?”的单位元素．例如：A?R，运算“?”为普通乘法；存在1?R，使得对任意a?R，都有1?a?a?1?a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“?”： ①A?R，运算“?”为普通减法；
②A?{Am?nAm?n表示m?n阶矩阵，m?N?,n?N?}，运算“?”为矩阵加法； ③A?XX?M（其中M是任意非空集合），运算“?”为求两个集合的交集． 其中对运算“?”有单位元素的集合序号为 【 】
A．①②； B．①③； C．①②③； D．②③．
三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤．
13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）
请仔细阅读以下材料：
已知f(x)是定义在(0,??)上的单调递增函数．
?求证：命题“设a,b?R，若ab?1，则f(a)?f(b)?f()?f()”是真命题． ?证明 因为a,b?R，由ab?1得a???1a1b1?0． b又因为f(x)是定义在(0,??)上的单调递增函数，
1b1同理有f(b)?f()． ②
a11由① + ②得f(a)?f(b)?f()?f()．
ab于是有f(a)?f()． ①
? 故，命题“设a,b?R，若ab?1，则f(a)?f(b)?f()?f()”是真命题．
1a1b请针对以上阅读材料中的f(x)，解答以下问题：
·2·
（1）试用命题的等价性证明：“设a,b?R?，若f(a)?f(b)?f()?f()，则：ab?1”是真命题；
（2）解关于x的不等式f(ax?1)?f(2x)?f(a1?x)?f(2?x)（其中a?0）． 14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC， 该曲线段是函数y?Asin(?x??)(A?0,??0,??(0,?))，x?[?4,0]的图像，图像的 最高点为B(?1,2)．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥EF．游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧
．
1a1b（1）求曲线段FGBC的函数表达式； （2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；
（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边 形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧
yBGF(- 4,0)C2QMDPEx-1O上，且?POE??，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时?的值． 15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）
x2y2已知F?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，椭圆C过点 1,F2分别是椭圆C:2ab(?3,1)且与抛物线y2??8x有一个公共的焦点．
（1）求椭圆C方程；
（2）斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A,B两点，求弦AB的长； （3）P为直线x?3上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP为等边三角形，求直 线l的方程．
16．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
设数列?an?满足：①a1?1；②所有项an?N?；③1?a1?a2?????an?an?1????． 设集合Am?n|an?m,m?N???，将集合Am中的元素的最大值记为bm．换句话说，bm是
数列?an?中满足不等式an?m的所有项的项数的最大值．我们称数列?bn?为数列?an?的
·3·
伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．
（1）若数列?an?的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列?an?； （2）设an?3n?1，求数列?an?的伴随数列?bn?的前100之和； （3）若数列?an?的前n项和Sn?数列?bn?前m项和Tm．
321n?n?c（其中c常数），试求数列?an?的伴随 22理科答案
一．填空题：
1.4； 2.?2； 3.2； 4.7； 5.4?； 6.4； 7.(??,?2)?(2,??)； 8.??(,5] 9.②④ ；
二．选择题：
10.A11.C12.D
三．解答题：
13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.
?原命题的逆否命题：设a,b?R，若ab?1，则：f(a)?f(b)?f()?f() ……4分
下面证明原命题的逆否命题为真命题： 因为a,b?R?，由ab?1得：0?a?1a1b1， …………………………1分 b又f(x)是定义在(0,??)上的单调递增函数
所以f(a)?f()…………（1） …………………………1分
1b所以原命题的逆否命题为真命题
所以原命题为真命题. …………………………1分
x?1xx（2）由（1）的结论有：a?2?1，即：(2a)?a ………………………3分
1)…………（2） …………………………1分 a11由（1）+（2）得：f(a)?f(b)?f()?f() …………………………1分
ab
同理有：f(b)?f(1时，不等式的解集为：(log2aa,??) ……………2分 21②当0?2a?1时，即0?a?时，不等式的解集为：(??,log2aa) ………2分
21③当2a?1时，即a?时，不等式的解集为：R ……………2分
214. 解：（1）由已知条件，得A?2, ……………………………1分
①当2a?1时，即a?·4·
T2???3,T??12,??? ……………………………2分 4?6?2? 又∵当x??1时，有y?2sin(???)?2???……2分
63 ?2?),x?[?4,0]． ………1分 ∴ 曲线段FBC的解析式为y?2sin(x?63?2?y)?1得 （2）由y?2sin(x?63B2Dkx?6k?(?1)?4(k?Z) …………2分
CPGQ又x?[?4,0]?k?0,x??3?G(?3,1)…2分
又∵OG?10 ……………………1分
∴ 景观路GO长为10千米 ……………1分
(3)如图，OC?3,CD?1,?OD?2,?COD?F(- 4,0)-1OMP1Ex?6作PP1?x轴于P1中， PP1?OPsin??2sin? ……………1分 1点，在Rt?OPPOPOM在?OMP中， …………………1分 ?00sin120sin(60??)……………………………………1分
OP?sin(600??)4230∴OM???sin(60??)?2cos??sin? ……………1分 0sin1203323S平行四边形OMPQ?OM?PP?(2cos??sin?)?2sin? …………………1分 132323432 cos2???4sin?cos??sin??2sin2??333?43?23 ??(0,) …………………2分 ?sin(2??)?3363???23当2???时，即??时：平行四边形面积最大值为 …………………1分
6263
15.解（1）由题意得 F1(?2,0) c?2 …………………2分
31??1， 22aa?44222得，a?8a?12?0，解得a?6或a?2（舍去）， …………………2分
2则b?2， …………1分
x2y2 故椭圆方程为??1． …………………1分
62（2）直线l的方程为y?k(x?2)． …………………1分
?y?k(x?2),? 联立方程组?x2y2
?1.??62?又
·5·
相关推荐：
loading