课时7．一次方程及方程组
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一、等式与方程的有关概念
1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果a?b，那么a?c? ；
② 如果a?b，那么ac? ；
如果a?b?c?0?，那么
a? . c2. 方程、一元一次方程的概念
⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程 的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.
⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系
数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ?a?0?. 3. 解一元一次方程的步骤：
①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1. 二、二元一次方程（组）及解法
1．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程.
2. 二元一次方程组：由2个或2个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组.
3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.
4．二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程的方法步骤： 消元
二元一次方程组 方程.
转化
消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. 6．易错知识辨析：
（1）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘 以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏 乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.
（2）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；
（3）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值； （4）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.
【河北三年中考试题】
1.（2008年，3分）图8所示的两架天平保持平衡，且每块
巧克力 果冻 50g砝码 巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块 巧克力的质量是 g．
2.（2009年，3分）如图9，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中 1加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露
31出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55 cm，
5此时木桶中水的深度是 cm．
所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是 A．x?5(12?x)?48 B．x?5(x?12)?48 C．x?12(x?5)?48 D．5x?(12?x)?48
图9
3.（2010年，2分）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设
课时8．一元二次方程及其应用
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1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中
叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：
2（1）直接开平方法：形如x?a(a?0)或(x?b)?a(a?0)的一元二次方程，就可用
2直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程ax?bx?c?o?a?0?的一般步骤是：①化二
2次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项， 右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为
(x?m)2?n的形式，⑤如果是非负数，即n?0，就可以用直接开平方求出方程的解.
如果n＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的求根公式是
2x1,2?b?b2?4ac2?(b?4ac?0).
2a（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的根的判别式为 . 2b2?4ac>0?一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?有两个 实数根，（1）即x1,2? .
（2）b?4ac=0?一元二次方程有 相等的实数根，即x1?x2? . 2（3）b?4ac<0?一元二次方程ax?bx?c?0?a?0? 实数根.
224． 一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有两根分别为x1，x2，那么
2x1?x2? ，x1?x2? . 5．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、答六步。
【河北三年中考试题】
1.（2008年，2分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万
元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A．3000(1?x)?5000 C．3000(1?x％)?5000
22B．3000x?5000
D．3000(1?x)?3000(1?x)?5000
222.（2010年，3分）已知x = 1是一元二次方程x2?mx?n?0的一个根，则 m2?2mn?n2的值为 ．
课时9．分式方程及其应用
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1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答. 4．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . 5．列分式方程解应用题中常用的数量关系及题型 （1）数字问题（包括日历中的数字规律）
①设个位数字为c，十位数字为b，百位数字为a，则这个三位数是 ； ②日历中前后两日差 ，上下两日差 。 （2）体积变化问题。 （3）打折销售问题
①利润= -成本； ②利润率= ×100％. （4）行程问题。 （5）教育储蓄问题
①利息= ； ②本息和= =本金×（1+利润×期数）； ③利息税= ； ④贷款利息=贷款数额×利率×期数。 6．易错知识辨析：
（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项. （2） 解分式方程的重要步骤是检验。
【河北三年中考试题】 1.（2010年，8分）解方程：
12． ?x?1x?1课时10．一元一次不等式(组)
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1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一
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