高考数学函数压轴题：
1 x3 ax b(a, b R) 在 x 3
1. 已知函数 f (x)
2 处取得的极小值是
4 . 3
(1) 求 f (x) 的单调递增区间； (2) 若 x [ 4,3] 时，有 f ( x)
m2 m 10 恒成立，求实数 m 的取值范围 .
3
20 艘 . 已知造船 x 艘的产值函数 R (x)=3700x + 45x 2
又在经济学中，函数 f(x) 的边际函数 Mf (x)
2. 某造船公司年最高造船量是 为 C (x) = 460x + 5000 ( (x). (2) (3)
求 : （提示：利润
– 10x 3( 单位：万元 ), 定义为 : Mf (x) = f (x+1)
成本函数 – f
单位：万元 ).
= 产值 – 成本）
(1) 利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x);
年造船量安排多少艘时 , 可使公司造船的年利润最大 ?
边际利润函数 MP(x) 的单调递减区间 , 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
3. 已知函数
(x)
5x
2
5x 1 ( x R) ，函数 y
f ( x) 的图象与 ( x) 的图象关于点 (0, ) 中心对称。
2
1
（ 1）求函数 y f ( x) 的解析式； （ 2）如果 g1 ( x)
f ( x) ， g n (x) f [ g n 1 ( x)]( n N , n
2) ，试求出使 g2 (x) 0 成
立的 x 取值范围；
（ 3）是否存在区间
E ，使 E
x f (x)
0
对于区间内的任意实数
x ，只要 n N ，且 n
2 时，都有
gn ( x) 0 恒成立？
4．已知函数： f ( x)
x 1 (a R且 x a)
a x
－ x)=0 对定义域内的所有
a
（Ⅰ）证明： f(x)+2+f(2a
（Ⅱ）当 f(x) 的定义域为 [a+
21
x 都成立 .
,a+1] 时，求证： f(x) 的值域为 [ － 3，－ 2] ；
2
（Ⅲ）设函数 g(x)=x +|(x － a)f(x)| , 求 g(x) 的最小值 .
*
5. 设 f (x) 是定义在 [ 0,1] 上的函数，若存在 x(0,1) ，使得 f ( x) 在 [0, x* ] 上单调递增，在 [ x* ,1] 上单调递减，则称 f ( x)
.
为 [0,1] 上的单峰函数， x* 为峰点，包含峰点的区间为含峰区间 峰区间长度的方法 . （ 1）证明：对任意的 x1 , x2 为含峰区间；
对任意的 [0,1] 上的单峰函数 f ( x) ，下面研究缩短其含
(0,1) ， x1
x2 ，若 f (x1 )
f ( x2 ) ，则 (0, x2 ) 为含峰区间；若 f ( x1 ) f ( x2 ) ，则 ( x1 ,1)
（ 2）对给定的 r ( 0 r 0.5) ，证明：存在 x1 , x2 (0,1) ，满足 x2 x1 2r ，使得由（ 1）所确定的含峰区间的长度不
2
、
2
大于 0.5 r ；
6. 设关于 x 的方程 2x
ax 2 0 的两根分别为
，函数 f (x)
4x a x
1
（ 1）证明 f ( x) 在区间 ,
上是增函数；
（ 2）当 a 为何值时， f (x) 在区间 ,
上的最大值与最小值之差最小
7. 甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数 入 x 万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于
f x x 8 ， g x x 12 ，及任意的 x 0，当甲公司投
f x 万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投
1
入 x 万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于
g x 万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险
. 设甲公司投
入宣传费 x 万元，乙公司投入宣传费
y 万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题： (1) 请解释 f 0 , g 0 ； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2) 甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？
(3) 若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的
宣传费：若甲先投入
a1
12
万元，乙在上述策略下，投入最少费用
b1 ；而甲根据乙的情况，调整宣传费为
an 时，乙调整宣传费为
a2 ；同
样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为
b2 , , 如此得当甲调整宣传费为 bn ；试问是否存在
lim an ， lim bn 的值，若存在写出此极限值（不必证明） n
n
，若不存在，说明理由 .
8. 设 f ( x) 是定义域在 [ 1, 1] 上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零
.
（ l ）求证 f (x) 在 [ 1, （ ll ）如果 f ( x （ lll ）证明若 1
1] 上是减函数；
c) ， f ( x c2 ) 的定义域的交集为空集，求实数 c 2 c 的取值范围；
2 ，则 f ( x c) ， f ( x c2 ) 存在公共的定义域，并求这个公共的空义域. *
9. 已知函数 f （ x）＝ ax ＋bx＋ c，其中 a∈ N ，b∈ N， c∈Z。
（ 1）若 b>2a，且 f （ sinx ）（ x∈R）的最大值为 2，最小值为－ 4，试求函数 f （ x）的最小值；
（ 2）若对任意实数 x，不等式 4x≤ f （ x）≤ 2（ x2＋ 1）恒成立，且存在 x0，使得 f （ x0）<2（ x02＋ 1）成立，求 c 的值。
10. 已知函数 f (x)
x4 4x 3 ax 2 1在区间 [0 ， 1] 上单调递增，在区间 [1 ， 2] 上单调递减；
（ 1）求 a 的值；
（ 2）求证： x=1 是该函数的一条对称轴；
（ 3）是否存在实数 b，使函数 g (x) 存在，请说明理由 .
bx 2 1的图象与函数 f(x)
的图象恰好有两个交点？若存在，求出
b 的值；若不
q
11. 定义在区间（ 0， ）上的函 f(x) 满足：（1） f(x) 不恒为零；（ 2）对任何实数 x、 q, 都有 f ( x )
qf ( x) .
（ 1）求证：方程 f(x)=0 有且只有一个实根；
2
（ 2）若 a>b>c>1, 且 a、 b、 c 成等差数列，求证：
( ( ) ) f a ? f c ( ) f b ；
f (n) 2 f (
（ 3）（本小题只理科做）若
f(x)
单调递增，且 m>n>0时，有 f (m)
m n
2 ) ，求证： 3 m
22 12. 已知三次函数 f ( x)
单调递减 .
x
3
ax
2
bx
c 在 y 轴上的截距是 2，且在 (, 1), ( 2, ) 上单调递增，在（－ 1，2）上
( Ⅰ ) 求函数 f (x) 的解析式；
( Ⅱ ) 若函数 h(x)
f 3( x (x) 2)
(m 1) ln( x m) ，求 h(x) 的单调区间 .
13. 已知函数 f ( x)
a
3x3( a x
1) （ a 0 且 a 1）．
2
(1) 试就实数 a 的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
(2) 已知当 x 0 时，函数在 (0, 6) 上单调递减，在 ( 6, (3) （理）记 (2) 中的函数的图像为曲线
) 上单调递增，求 a 的值并写出函数的解析式；
C ，试问是否存在经过原点的直线 l ，使得 l 为曲线 C 的对称轴？若存在，
求出 l 的方程；若不存在，请说明理由．
( 文 ) 记(2) 中的函数的图像为曲线
C ，试问曲线 C 是否为中心对称图形？若是，请求出对称中心的坐标并加
以证明；若不是，请说明理由． 14. 已知函数 f (x) ( Ⅰ ) 求 t 的值；
log a x 和 g (x) 2log a (2 x t
2),( a 0, a 1,t
R) 的图象在 x 2 处的切线互相平行 .
（Ⅱ）设 F ( x) g ( x) f (x) ，当 x
1,4 时， F ( x) 2 恒成立，求 a 的取值范围 .
15. 设函数 f ( x) 定义在 R 上，对任意的 m, n R ，恒有 f (m n) 决以下问题： （ 1）求 f (1)的值，并判断 f ( x) 的单调性； （ 2）设集合 A 取值范围； （ 3）若 0 a
f ( m) f (n) ，且当 x 1 时， f (x) 0 。试解
( x, y) | f ( x y) f ( x y) 0 , B
( x, y) | f (ax y 2) 0, a R ，若 A I B
，求实数 a 的
b ，满足 | f ( a) | | f (b) | 2 | f (
a b
2
) |，求证： 3 b
2
2
2
16. （理科）二次函数 f(x)= x
ax b( a、 b R)
（ I ）若方程 f(x)=0 无实数根，求证： b>0；
（ II ）若方程 f(x)=0 有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：
2
1) ； (a f( － a)=
4
1
（ III ）若方程 f(x)=0
有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数
k，使得 f ( k). 1 4
2 ( 文科 ) 已知函数 f(x)= ax bx
c ，其中 a
N * , b N , c Z.
（ I ）若 b>2a, 且 f(sinx)(x ∈ R)的最大值为 2，最小值为－ 4，试求函数 f(x) 的最小值；
（ II ）若对任意实数 x，不等式 4
x
( ) 2( 2 1) 恒成立 且存在 x 使得 f ( x ) 2( x2 0 1) 成立，求 的值。 f , x x c 0 0
(-1,1) 都有
。 17. 定义在（ -1 ， 1）上的函数 f(x) 满足：对任意 x、 y
（ I ）求证：函数 f(x) 是奇函数；
（ II ）如果当
时，有 f(x)>0 ，判断 f(x) 在(-1,1) 上的单调性，并加以证明；
（ III ）设 -1 2 18. 已知二次函数 f ( x) ax bx 1(a 0,b R), 设方程 f(x) ＝ x 有两个实数根 x1、 x2. x＝x0, 求证 x0>— 1; ( Ⅰ ) 如果 x1 ( Ⅱ ) 如果 0 2 x2 4 ，设函数 f(x) 的对称轴为 x1 2 ，且 f(x) ＝ x 的两实根相差为 2，求实数 b 的取值范围 . ，有 f ( x) 函数 f ( x) 的定义域为 ，并满足以下条件：①对任意 19. R 0 ； x R 3 ②对任意 x 、 y R ，有 f ( xy) [ f ( x)] ；③ f ( ) 1. 3 y 1 则 （ 4 分） （ 5 分） （ 1）求 f (0) 的值； （ 2）求证： f (x) 在 R 上是单调增函数； （ 3）若 a b c 0, 且 b2 ac ，求证： f ( a) f (c) 2 f (b). 20. （理）已知 f (x) = In(1 + x2 ) + ax(a ≤0) （ 1）讨论 f ( x) 的单调性； 1 1 （ 2）证明： (1+ 24 )(1+ 3 4 ) （文）设函数 f ( x) * ), 1 ) ( 2 (1+ n 4 < e n∈ N n ≥ 其中无理数 e = 2.71828 ) . 1 ax 3 3 bx2 cx(a b c) ，其图象在点 A(1, f (1)), B( m, f (m)) 处的切线的斜率分别为 o, - a . （ 1）求证： 0 ≤ < 1 ； a （ 2）若函数 f (x) 的递增区间为 [ s,t ] ，求 [ s - t ] 的取值范围 . b 21. 设函数 f ( x) 1 3 x 2 ax 2 3 a x 2 (0 b a 1) 3 （ 2）当 x∈[a+1, a+2] 22. 已知函数 f (x) （ 1）求函数 f(x) 的单调区间，并求函数 f(x) 的极大值和极小值； 时，不等 | f ( x) | a ，求 a 的取值范围 . 16 7x ，函数 g(x ) x 6 ln x m . x 1 （ 1）当 x 1时，求函数 f(x) 的最小值； （ 2）设函数 h(x)=(1 － x)f(x)+16 ，试根据 m的取值分析函数 h(x) 的图象与函数 g(x) 的图象交点的个数 . 1 2 23. 已知二次函数 f ( x) ax 2 数 f （x）的图象以及 bx c, l ，y 轴与函数 f （ x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示. 1 l : yt 2 直线 1 8t( 0 t 其中 2.t 为常数）； l 2 : x 2 . 若直线 l 、 l 与函 （Ⅰ）求 a、 b、 c 的值； （Ⅱ）求阴影面积 S 关于 t 的函数 S（ t ）的解析式； （Ⅲ）若 g(x) 6 ln x m, 问是否存在实数 m，使得 y=f （x）的图象与 y=g（ x）的图象有且只有两个不同的交点？ . 若存在，求出 m的值；若不存在，说明理由 24. 已知 f ( x) x(x a)( x b) ，点 A(s,f(s)), B(t,f(t)) 4 (I) 若 a b 1 , 求函数 f ( x) 的单调递增区间； (II) 若函数 f ( x) 的导函数 f ( x) 满足：当 |x| ≤ 1 时，有 | f ( x) | ≤ 恒成立，求函数 3 f (x) 的解析表达式； 2 (III) 若 0 25. 已知函数 f ( x) m x 2 m R . x (1) 设 g (x) f (x) ln x , 当 m≥ 1 时 , 求 g(x) 在 [ 1 ,2 ] 上的最大值； 4 2 (2)若 y log m的取值范 1 [8 f ( x)] 在[1, ) 上是单调减函数，求实数 围 . 3 26. ( 本小题满分 12 分 ) 已知常数 a > 0, n 为正整数， f n ( x ) = x n –( x + a) n ( x > 0 ) 是关于 x 的函数 . (1) 判定函数 f n ( x ) 的单调性，并证明你的结论 . (2)对任意 n a , 证明 f ` n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n`(n) 答案： f (2) 4 a 0 1. 解： (1) f ( x) x 2 a ，由题意 8 4 a 4 ， f (2) 4 3 2a b 3 b 令 f ( x) x2 4 0 得 f ( x) 的单调递增区间为 ( , 2) 和 (2, ) . (2) f (x) 1 x3 4x 4 ，当 x 变化时， f (x) 与 f (x) 的变化情况如下表： 3 x - 4 (-4 ， -2 (-2,2) 2 (2,3) 3 -2) f ( x) Z 0 ] Z 0 f (x) 4 单 28 单调递 单 调 3 3 调递增 减 4 递增 1 3 所以 x [ 4,3] 时， f (x)max 28 . 于是 f (x) m2 m 10 在 x [ 4,3] 上恒成立等价于 m2 3 3 得 m ( , 3] [2, ) . 3 2 2. 解： (1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x + 45x + 3240x – 5000 (x N 且 x [1, 20]); 2 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x 2 + 60x +3275 (x N 且 x [1, 20]). 4 分– 30x 2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) (2) P`(x) = (x N 且 x [1, 20]) 7 5 m 10 28 ，求3 3 分 分
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