解题参考
电磁感应的主要内容是法拉第电磁感应定律。根据磁通量变化原因的不同，又分为动生和感生。
能够方便计算磁通量时都可直接应用法拉第电磁感应定律计算感应电动势，对于恒定磁场中导体切割磁力线的问题，运用动生电动势公式直接计算比较方便，计算时应注意矢量的处理，积分结果的正负号表示电动势的实际方向与假定方向的一致与否，也可根据楞次定律判断方向。
题7.4：若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上。求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为
1Q E???04r2?L2（2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为
E?1Q2??0r4r2?L2
若棒为无限长（即L??），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。
题7.4分析：这是计算连续分布电荷的电场强度。此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理。但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上。如图所示，在长直线上任意取一线元，其电荷为dq = Qdx/L，它在点P的电场强度为
1dqdE?er
4??0r?2整个带电体在点P的电场强度 E??dE
接着针对具体问题来处理这个矢量积分。
（1） 若点P在棒的延长线上，带电棒上各电
荷元在点P的电场强度方向相同，
E??dEi
L（2） 若点P在棒的垂直平分线上，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为
零，因此，点P的电场强度就是 E??dEyj??sin?dEj
LL证：（1）延长线上一点P的电场强度E??则
EP??dq，利用几何关系r??r?x统一积分变量，
L4??r?20Qdx1?11???-L24??L(r?x)24??0L?r?L2r?L0L21?1Q? ?2???04r2?L2电场强度的方向沿x轴。
（3） 根据以上分析，中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y轴，大小为
E??Lsin?dq
4??0r?2利用几何关系sin??rr?,r??r2?x2统一积分变量，则
E??rQdxQ?2232-L24??2??0r0L(x?r)L211L?4r22
当棒长L??时，若棒单位长度所带电荷为?常量，则
P点电场强度
E?limL??1QL2??0r1?4r2L2?? 2??0r此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。这
说明只要满足r2L2??1，带电长直细棒可视为无限长带电直线。
题7.5：一半径为R的半圆细环上均匀分布电荷Q，求环心处的电场强度
题7.5分析：在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。现将其抽象为带电半圆弧线。在弧线上取线元dl，其电荷此电荷元可视为点电荷dq?强度dE?1Qdl，它在点O的电场?Rdqer。因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有
4??0r2L?LdEx?0，点O的合电场强度E??dEyj，统一积分变量可求得E。
解：由上述分析，点O的电场强度
1sin?QEO????2?dl
L4???RR0由几何关系dl?Rd?，统一积分变量后，有
EO????014??0sin?d???Q2?2?0R2
方向沿y轴负方向。
题7.6：用电场强度叠加原理求证：无限大均匀带电板外一点的电场强度大小为E??（提2?0示：把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分叠加）
题7.6分析：求点P的电场强度可采用两种方法处理，将无限大平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细长线元组成，它们的电荷分别为
dq??2?rdr或d???dy 求出它们在轴线上一点P的电场强度dE后，再叠加积分，即可求得点P的电场强度了。 证1：如图所示，在带电板上取同心细圆环为微元，由于带电平面上同心圆环在点P激发的电场强度dE的方向均相同，因而P处的电场强度
xdq1??2?xrdrE??dE??i??4??0(r2?x2)32i4??0(r2?x2)32
??i2?0电场强度E的方向为带电平板外法线方向。
证2：如图所示，取无限长带电细线为微元，各微元在
点P激发的电场强度dE在Oxy平面内且对x轴对称，因此，电场在y轴和z轴方向上的分量之和，即Ey、Ez均为零，则点P的电场强度应为
E?Exi??dEcos?i??? xdy?i22??2??0y?x?i 2?0积分得E?电场强度E的方向为带电平板外法线方向。
上述讨论表明，虽然微元割取的方法不同，但结果是相同的。
题7.10：设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。
解：作半径为R的平面S?与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理
?E?dS???q?0
S01这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S?的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量。因而
Φ??E?dS???SS?E?dS
依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向， Φ??E??R2?cos???R2E
题7.13：设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为 ??kr0?r?R
??0r?Rk为一常量。试用高斯定理求电场强度E与r的函数关系。
解：因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定律
?E?dS?S1?0??dV得球体内(0?r?R)
1 E(r)4?r2?kr2E(r)?er
4?0?0?r0kr4?r2dr??k4r ?0球体外（r＞R） E(r)?4?r2?kR4E(r)?er
4?0r21?0?R0kr4?r2dr??k4R ?0题7.14：一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为?，在平板中部有一半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。 题7.14分析：用补偿法求解
利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场。本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求
出电场的分布。
若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度?????）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。 解：在带电平面附近
?E1?en
2?0en为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场
E2????x?1?2?0?x2?r2???en ??它们的合电场强度为
?xE?E1?E2?en。
2?0x2?r2在圆孔中心处x = 0，则 E = 0 在距离圆孔较远时x>>r，则 E??1?en?en
2?01?r2x22?0上述结果表明，在x>>r时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计。
题7.15：一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长度的电荷为?，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为r处的电场强度。
题7.15分析：无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢方向。取同轴往面为高斯面，电场强度在圆柱侧面上大小相等，且与柱面正交。在圆柱的两个底面上，电场强度与底面平行，E?dS?0对电场强度通量贡献为零。整个高斯面的电场强度通量为
?E?dS?E?2?rL
由于，圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度????R2，处于高斯面内的总电荷
?q????r2L
由高斯定理?E?dS??q?0可解得电场强度的分布， 解：取同轴柱面为高斯面，由上述分析得
1?2E?2?rL????r2L?rL
?0?0R2E??r
2??0R2题7.16：一个内外半径分别R1为R2和的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为 R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2。求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距
离r的连续函数？试分析。
题7.16分析：以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为高斯面。由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而?E?dS?E?4?r2，在确定高斯面内的电荷?q后， 利用高斯定理
?E?dS??q?0
即可求的电场强度的分布
解：取半径为r的同心球面为高斯面，由上述分析 E?4?r2??q?0
r < R1，该高斯面内无电荷，?q?0，故 E1 = 0
Q1(r3?R13)R1 < r < R2，高斯面内电荷?q?，故 3R2?R13Q1(r3?R13) E2? 34??0(R2?R13)r2R2 < r < R3，高斯面内电荷为Q1，故
E3?Q14??0r2
r > R3，高斯面内电荷为Q1+ Q2，故
E4?Q1?Q2
4??0r2 电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图所示。
在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r = R3的带电球面两侧，电场强度的跃变量
Q2??E?E4?E3??
4??0R3?0这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性。实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场，如球壳的厚度变小，E的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变。
题7.17：两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2 (R2 > R1)，单位长度上的电荷为?。求离轴线为r处的电场强度：（1）r < R1，（2）R1 < r < R2，（3）r > R2
题7.17分析：电荷分布在无限长同轴圆拄面上，电场强度也必定呈轴对称分布，沿径矢方向。取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且?E?dS?E?2?rL，求出不同半径高斯面内的电荷?q。利用高斯定理可解得各区域电场的分布。
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