数学模型（数学建模）期末考试试卷（A卷）
2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟
学号 姓名 年级专业 题号 装一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 评阅人 订线
得分
一、(满分12分) 一人摆渡希望用一条船将一只狼，一只羊，一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白
菜分别记为i = 1，2，3，4，当i在此岸时记xi = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x1，x2，x3，x4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u1, u2, u3, u4)，当i在船上时记ui = 1，否则记ui = 0。
(1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分）
解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分）
(2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分）
(3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分）
(4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。
或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分）
得分
1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就
1
下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分
（2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6
分
解：设体重w（千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y?I?S
2
设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h
3
再体重正比于身高的三次方，则w ? h 故举重能力和体重之间关系的模型为： 2 kw 3 （6分） y ?（2） 体重中与成年人尺寸无关的重量为a, 则一个最粗略的模型为
2
y?k(w?a)3 ( 12分)
得分
三、(满分14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过
两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如下表所示。那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中哪些课程?
课程编号 课程名称 学分 所属类别 先修课要求 1 5 微积分 数学 2 4 线性代数 数学 3 4 最优化方法 数学；运筹学 微积分；线性代数 4 3 数据结构 数学；计算机 计算机编程 5 4 应用统计 数学；运筹学 微积分；线性代数 6 3 计算机模拟 计算机；运筹学 计算机编程 7 2 计算机编程 计算机 8 2 预测理论 运筹学 应用统计 9 3 数学实验 运筹学；计算机 微积分；线性代数 记i=1，2，…，9表示9门课程的编号。设xi?1表示第i门课程选修，xi?0表示第i门课程不选, 建立数学规划模型 (1) 写出问题的目标函数(4分)
(2) 每人至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课,如何表示此约束条件? (5分)
(3) 某些课程有先修课要求, 如何表示此约束条件? (5分)
解
9i?1 (1) minZ??xi (4分)
? (2) x1?x2?x3?x4?x52
2
x3?x5?x6?x8?x9?3 (9分)
x4?x6?x7?x9?2
(3) x3?x1,x3?x2
x4?x7
x5?x1,x5?x2
x6?x7
x9?x1,x9?x2
x8?x5 (14分)
装
得分 订
四、(满分10分) 雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，
?1?11
其中粘滞系数的量纲[?]=LMT ，用量纲分析方法给出速度v的表达式. 解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为
0-1
[v]=LMT，
[?]=LMT，
-3
0
线[?]=LMT 0-2
[g]=LMT,其中L，M，T是基本量纲. (3分) 量纲矩阵为
?1?1 ?1?3?11?(L)?0?(M)110?A=? ???10?1?2(T)??(v)(?)(?)(g)齐次线性方程组Ay=0 ，即
? y1-3y2-y3?y4?0? ?0 ?y2?y3 ?-y -y-2y?034?1的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) (7分) 由量纲PI定理 得 ??v??g. ?v??3(10分)
?3?1?g，其中?是无量纲常数. ?
得分
五、(满分12分)设某种群t 时刻的数量为x(t) ,初始数量为x0 ,
(1) 写出种群数量的指数增长模型并求解;
(2) 设容许的资源环境最大数量为N, 写出种群数量的阻滞增长模型(logistic), 并
3
求其平衡点.
解 (1) x?rx (3分)
x(t)?x0erx (6分)
x (2) x(t)?rx ) (9分) (?1Nx rx(1? ,平衡点为x?0 和x?N (12分) )?0N 得分
六、（满分10分）设在一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存，假设食肉爬行动物和哺乳动物独自生存时服从Logistic变化规律，植物独自生存时其数量增长服从指数增长规律。现有研究发现，当哺乳动物吃食植物后，植物能释放某些化学物质对吃食的哺乳动物产生一定的毒害作用。通过适当的假设，建立这三者间的关系模型.
解：设植物、哺乳动物和食肉爬行动物的数量分别为x1(t), x2(t), x3(t)
假设单位数量的植物所释放的化学物质对吃食植物后的哺乳动物的毒害作用率为k， （3分）
???x1?x1(r1??1x2) ?x?x[?r?x2?(??k)x??x] （10分） ?222213K2??x?x3?x3(?r3?3??3x2)K3?
得分
七、（满分15分））经过一番打探及亲身体验，你准备从三种车型（记为a,b,c)中选出一种购买，选择的标准主要有价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观。经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较矩阵
378??1
?1/31?55 ?A?? ?1/71/513? ??1/81/51/31??
已知其最大特征值近似为4.1983.
另外，下列矩阵分别是三种车型关于价格、耗油量、舒适度、及你对它们外表的喜欢程度的成对比较阵： 外表价格耗油量舒适度
23??1?C1??1/212????1/31/21???11/51/2?4 ?C2??517????21/71??35??1?C3??1/314????1/51/41???11/53?C4??17??5???1/31/71??装订线
其中矩阵C1,C2,C3,C4的元素是分别是a,b,c三种车型对于四种标准的优越性的比较尺度.
假定这些成对比较阵（包括A）都通过了一致性检验，且已知C1,C2,C3,C4的最大特征值与对应的归一化特征向量（见下表）：
矩阵 最大特征值 对应归一化特征向量 C1 3.009 ( 0.5396 0.2970 0.1634 ) C2 3.119 ( 0.1056 0.7445 0.1499 ) C3 3.086 ( 0.6267 0.2797 0.0936 ) C4 3.065 ( 0.1884 0.7306 0.0810 )
(1) 根据上述矩阵将四项标准在你心目中的比重由重到轻的顺序排出(5分)；
(2) 分别确定哪种车最便宜、最省油、最舒适、最漂亮(5分)； (3) 确定你对这三种车型的喜欢程度（用百分比表示）(5分)；
解： 记4个准则价格，耗油量大小，舒适程度和外表美观分别为C1，C2，C3，C4，则
C1:C2?3即C1比C2的影响稍强 C2:C3?5即C2比C3的影响强
C3:C4?3即C3比C4的影响稍强
所以四项标准在心目中的比重由重到轻的顺序为：
价格、耗油量大小、适合程序、外观美观 (5分) (2)
考虑比较阵C1
a12?2表明车型a的价格优越性高于车型b，即车型a比车型b便宜
a23?2表明车型b的价格优越性高于车型c，即车型b比车型c
便宜
所以最便宜的车型为a. (7分)
同理可得
最省油的车型为b； (8分) 最舒适的车型为a； (9分) 最漂亮的车型为b。 (10分) (3)
车型a的组合权重 （0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.5396，0.1056，0.6267，0.1884)T=0.41 车型b的组合权重 （0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.2970，0.7445，0.2797，0.7306)T=0.44 车型c的组合权重 （0.5820，0.2786，0.0899，0.0495）·(0.1634，0.1499，0.0936，0.0810)T=0.15
5
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