第四章：相似图形
线段的比、黄金分割及形状相同的图形
知识要点
◆要点1 线段的比
(1) 线段的比：在同一单位下，两条线的长度的比叫做这两条线段的比。 (2) 成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即线段，当b＝c时，有
ac?，那么这四条线段成比例bdab?，称b为a与d的比例中项。 bd(3) 比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离
★说明：判断四条线段是否成比例，首先要把四条线段的单位化成同一单位，再计算它们的比值来判断，要注意它们的顺序。
◆要点2 比例的性质
a. 比例的基本性质：
acab??ad?bc?a、b、c、d?0?,??b2?ac?a、b、c、d?0? bdbcaca?bc?d?b. 合比性质：（两边都加1或减1）??
bdbdacma?c???ma?。 c. 等比性质：如果?????b?d???m?0?，那么
bdnb?d???nb
◆要点3 黄金分割
概念：若点C把线段AB分成两条线段AC、BC (AC＞BC)，若
ACBC?，我们称线段AB被点C黄金分割，C点ABAC为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比??5?1??。?0.618?2?
??★说明：(1)一条线段有两个黄金分割点。黄金分割比是两个线段的比，没有单位；(2) 一条线段黄金分割后，
XS—01 XS—02
原线段、较长线段、较短线段有其固定关系：若AB＝1，则AC?点一般有两种方法，如右图XS—01、XS—02： ◆要点4 形状相同的图形
5?13?5,BC?.(3)作一条线的黄金分割22(1) 所谓形状相同的图形，实际上就是形状相同，大小、位置不一定相同的图形，全等形是特殊的形状相同的图形。它包括三维空间的所有正方体，所有的球体。
(2) 将图形放大或缩小，只需将每个点的坐标都扩大或缩小相同的倍数，若在方格纸内，则将每条线段横跨或纵跨的方格数都扩大或缩小相同的倍数即可。
易错易混点
(1)求线段的比时，忽视了单位的统一；(2) 不按顺序写成比例线段；运用等比性质时，忽略了成立的条件；(3) 没有理解黄金分割的定义；(4) 对形状相同的图形的概念理解不透彻，从而对它们的区别与联系不清楚；观察不细致。 例☆ 已知：
例☆ 已知点P在线段AB上，且 典型例题
例1 已知四条线段a，b，c，d的长度，试判断它们是否为比例线段。 (1) a＝8，b＝4，c＝2.5，d＝5; (2) a＝16，b＝0.1，c＝1.2，d＝20。
y?zx?zx?y???k，求k的值。 xyzABAP?，若PB＝2，则AB的长为多少？ APPB3m?n1m?，则＝________。 n4nabca?b?ca?b?c变形1：已知??，求及的值。
345ca?b?c例2 若
例3 已知x：y：z＝1：3：5，求
x?3y?z的值。
x?3y?z变形1：若4x＝7y＋5z，2x＋y＝z，那么x：y：z＝（ ）
A. 2：1：(－3) B. 2：1：3 C. 2：(－1)：3 D. 3：2：1 变形2：若
x?3y?1z?2??，且x＋y＋z＝18，求x，y，z。 234
例4 若点C是线段AB的分割点（AC＞BC），AB＝16，则AC＝______，BC＝_______；如果D是线段AB的另一个黄金分割点，则CD＝_______。
2
XS—03
变形：如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB. 当PA＝PB2AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现已知线段AB＝10，点P是线段AB的黄金分割点，如图XS—03所示，那么线段PB的长约为（ ） A. 6.18 B. 0.382 C. 0.618 D. 3.82
例5 如图XS—04所示，矩形ABCD中，AB＝5?1，AD＝2，四边形ABEF是一个正方形，则点E是BC的黄金分割点吗？矩形ABCD是黄金矩形吗？请说明理由。
学习自评
XS—04
1. 如果
x?y8xxmx?，那么＝_________，如果?，则?________。
yy5yx?yn2. 若
ab1a?2b??，则＝________。 72533. A，B两处实际距离是2500m，在一张平面图上的距离是5cm，这张平面图的比例尺是______。若C，D两处在这
张平面图上的距离是1cm，则两处的实际距离为______。
4. 已知三个数2、3、6，请你再插入一个数，使它们构成一个比例，则这个数是_____。
5. 把一根4m长的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比6. 线段a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项c为______cm。
5?1，则这个矩形的面积 27. 若两线段之比为7：5，它们的和为24cm，则两线段的长分别为_________。
8. 已知直角三角形的三边分别为a，a＋b，a＋2b，其中a＞0，b＞0，则a与b的比是（ ）
A. 1：3 B. 1：4 C. 2：1 D. 3：1 9. 下列各组线段成比例的是（ ）
A. 2cm，3cm，4cm，1cm B. 1.5cm，4cm，4cm，6.5cm C. 1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm D. 1cm，2cm，2cm，4cm 10. 若2x－3y＝0，则
x?y等于（ ） A. －5 B. 5 C. ±5 D. 4 x?y11. 把长为7cm的线段进行黄金分割，则分成较短线段的长是（ ）
A.
21?7521?7575?775?7cm B. cm C. cm D. cm 222212. 若C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AC＝4cm，则BC等于（ ）
A.
?5?1?cm B. ?5?1?cm C. ?25?2cm D. 25?2cm
???13. 下列式子能表达点E是线段MN的黄金分割点(ME＞EN)的是（ ）
A.
EMENMNENMNMEENMN???? B. C. D. ENMNENMNMEENEMMN14. 如图XS—05所示，已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，设以AP为边的正方形
的面积是S1，以PB、AB为边的矩形面积是S2，则S1与S2的关系是（ ） A. S1＞S2 B. S1＝S2 C. S1＜S2 D. 以上答案都不对
XS—05
15. 已知
abc3a?2b?2c??，求的值。 2352a?b?c
16. ①两个立方体；②两个半径不等的圆；③用同一底片冲洗出来的2寸照片和5寸照片；④圆柱和圆锥；⑤长和
宽相同，但高不同的两个长方体；⑥横坐标相同纵坐标成3倍关系的几何图形。上述各种图形中，形状相同的图形有哪些？请指出来。
17. 已知a：b：c＝2:3:5，且a＋b＋c＝5，求
3a?2b?c的值。
a2?b2?c218. 已知m?x?yy?zxz,n?,??2，求证y是x，z的比例中项。 22mn19. 已知线段AB＝6，C为其黄金分割点，求下列各式的值：
(1) AC：BC； (2) AB－BC； (3) AC2BC.
20. 如图XS—06，DE∥BC，
AD3?，求S△ADE：S△DBE的值，并总结规律。 AB5XS—06
相似多边形\\相似三角形及三角形相似的条件
知识要点 相似多边形
◆要点1 各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做多边形的相似比。
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