四川省三台县芦溪中学2020届高三数学上学期“二诊”考前模拟试题理

四川省三台县芦溪中学2020届高三数学上学期“二诊”考前模拟试题

理

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足(z?1)i?3?i（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） A．3

B．3i

C．?3

D．?3i

22 . 已知全集U={-2,-1,0,1,2}，集合M?x|x?x?2?0,x?N，则CUM?（ ）

??A．??2,1,2? 3

B．??2,?1,2? ．

C．??2?

D．?2? 直

线

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于45至70之间.将数据分成以下5组:第1组[45,50),第2组[50,55),第3组[55,60),第4组[60,65),第5组[65,70],得到如图所示的频率分布直方图.，现发现有22%的学生体重超标，根据直方图估计体重大于等于多少千克为超标体重（ ）. A . 61 B. 62 C. 63 D. 64

5. ?1?ax??1?x?的展开式中，x3项的系数为?16，则实数a的值为（ ） A．2

B．3

C．?2

D．2或3

266．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则x的可能值的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

27、已知抛物线C1:x?2py(y?0)焦点为F1，圆

的圆心为F2，点P(x0,)在C1上，且PF1?为（ ）

123，则直线F1F2的斜率4A．?1 2B．?1 4C．?

13D．?

158．如图，点C在以AB为直径的圆上，且满足CA?CB，圆内的弧线是以C为圆心，CA为半径的圆的一部分.记?ABC三边所围成的区域（灰色部分）为M，右侧月牙形区域（黑色部分）为N.在整个图形中随机取一点，记此点取自M，N的概率分别为P1，P2，则（ ） A．P1?P2 B．P1?P2 C．P1?P2?41? D．P2?P 1??1??19. 曲线y=1+4-x2与直线y?k?x?2??4有两个不同交点，实数k的取值范围是（ ） A．k?3 4B．?355?k?? C．k? 41212D．

53?k? 12410. 在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，，点P为三角形ABC所在平面上一动点，

且满足，则的取值范围是

A. [?22,0] B. [0,22] C. [-2,2] D.[?22,22]

x2y211．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为2，F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，

abuuuruuuur点M(?a,0)，N(0,b)，点P为线段MN上的动点，当PF1?PF2取得最小值和最大值时，

△PF1F2的面积分别为S1,S2，则（ ）

A．4

B．8

xxC．23 D．43 12．已知函数f(x)?a?e?xlna(a?0,a?1)，对任意x1,x2?[0,1]，不等式

f(x2)?f(x1)≤a?2恒成立，则a的取值范围为（ ）

A．?,e2?

?1?2??B．[ee,??)

C．?,???

?1?2??D．[e2,ee]

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩的平均数为86，则

x?y?______.

14. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A?a1a2a3a4a5，其中A的各位数字中， a1?1，ak（k?2,3,4,5）出现0的概率为

12，出现1的概率为.若启动一33次出现的数字为A?10101，则称这次试验成功.若成功一次得2分，失败一次得?1分，则100次这样的重复试验的总得分X的方差为__________． 15. 设

是定义在上的偶函数，对任意

，都有

，且当

时，

.在区间内关于的方程恰有个不同

的实数根，则实数的取值范围是_________.

16. 已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且+

的最大的最大值等

值等于5，则当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F，则于_________

三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在（1）求

中，角所对的边分别为

为边

，已知上的点，且

，求

的长.

.

的值； （2）若

男生 女生 A类 x y 男生 B类 5 3 女生 C类 3 3 总计 18．某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅

不参加课外阅读 参加课外阅读 总计 读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A类（不参加课外阅读），

B类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时），C类（参加课外阅读，

且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时）．调查结果如下表： （1）求出表中x，y的值；

（2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关；

（3）从抽出的女生中再随机抽取3人进一解情况，记X为抽取的这3名女生中A类和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．

步了

P(K2≥k0) 人数

0.10 0.05 0.01 n(ad?bc)2附：K?．

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2k0 2.706 3.841 6.635 19. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1 （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足

b1b2b1??????n?1?n,n?N* ，若{bn}的前n项和为Tn．a1a2an2都有

1x2y220. 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率为，P是椭圆C2ab上的一个动点，且?PF1F2面积的最大值为3. （1）求椭圆C的方程；

（2）设直线PF2斜率为k(k?0)，且PF2与椭圆C的另一个交点为Q，是否存在点T(0,t)，使得|TP|?|TQ|?若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由. 21. 设函数f(x)?xe?a(1?e)?1．

xx（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在(0,??)上存在零点，证明：a?2

四：选考题，请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）

在极坐标系下，方程??2sin2?的图形为如图所示的“幸运四叶草”，又称为玫瑰线． （1）当玫瑰线的???0,?时，求以极点为圆心的单位圆与玫瑰线的交点的极坐标；

2?????（2）求曲线

??22??上的点M与玫瑰线上的点N距离的最小?sin????4??值及取得最小值时的点M、N的极坐标（不必写详细解题过程）． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数（1）解不等式（2）若

；

对任意

恒成立，证明：

.

.

芦溪中学2017级二诊考前模拟考试理科数学试题答案 1．【解析】因为(z?1)i?3?i?z?选：A. 2．【解析】集合

3?i?1?2?3i，所以z?2?3i，所以其虚部为3.故iM??x|?1?x?2,x?N???0,1?l与圆

C

，∴

CUM???2,?1,2?.故选：B.

3.【解析】因为直线相交,所以圆心到直线的距离

所以c<-5是相交的必要不充分条件。选B

4.【解析】由(0.01+0.02+a+0.06+0.07)×5=1,得

a=0.04,设超标体重为

. 选B

rr5.【解析】Q?1?ax??1?2ax?a2x2，?1?x?展开式的通项为Tr?1?C6x令r?3得展开

2623式含x3项的系数为C6?20 令r=2得展开式含x2项的系数为C6?15令r?1得展开式含

261x项的系数为C6?20所以?1?ax??1?x?的展开式中x3项的系数为

20?30a?6a2??16，解得a?2或3故选：D

6. 【解析】当x?2时, 由x2?x得： x?0,1满足条件；当2?x?5时, 由2x?3?x得：

x?3满足条件；当x?5时, 由

C.

1?x得： x??1不满足条件, 故这样的x值有3个, 故选x7．【解析】因为PF1?31p3，所以??，解得4224, 所以圆心F2（1,0）所以直线F1F2的

1斜率为4??1选B

0?148．【解析】设圆的半径为1，则区域Ⅰ的面积为S1?1?2?1?1；区域Ⅱ的面积2S2?A．

1111??12?[??(2)2??2?1]?1．圆的面积为π×12＝π．所以P?P?．故选12242?9.【解析】y=1+4-x2可化为x2??y?1??4?y?1??曲线y=1+4-x2表示以?0,1?2为圆心，2为半径的圆的y?1的部分又直线y?k?x?2??4恒过定点A?2,4?可得图象如下图所示：

当直线y?k?x?2??4为圆的切线时，可得d?3?2kk2?1?2，解得：k?5当直线12y?k?x?2??4过点B??2,1?时，k?线有两个不同交点时，10.

【

解

析

4?13?由图象可知，当y?k?x?2??4与曲2?2453?k? 故选：D 124取

AB

的

中

点

Q.

连

接

CQ

，

则

】

,其中

故选D，本题也可建系与圆的参数方程求解。

11.【解析】由e?c得c?2a,b?3a，故线段MN所在直线的方程为y?3(x?a)，?2，

a又点P在线段MN上，可设P(m,3m?3a)，其中m?[?a,0]，由于F1(?c,0),F2(c,0)，

uuuruuuur即F1(?2a,0),F2(2a,0)，得PF1?(?2a?m,?3m?3a),PF2?(2a?m,?3m?3a)，uuuruuuur32132322所以PF．由于，可知当m?[?a,0]?4(m?a)?am??a?PF?4m?6ma?a12444uuuruuuuruuuruuuur3a，当m?0时，PF1?PF2取得最大值，此时时，PF1?PF2取得最小值，此时yP?4yP?3a，则

S23a??4选A S13a4xxxxxx12. 【解析】因为f(x)?a?e?xlna，所以f?(x)?alna?e?lna?(a?1)lna?e．

当a?1时，对任意的x?[0,1]，a?1≥0,lna?0，恒有f?(x)?0；当0?a?1时，

xax?1≤0,lna?0，恒有f?(x)?0，所以f(x)在x?[0,1]是单调递增的．那么对任意的

x1,x2?[0,1]，不等式f(x2)?f(x1)≤a?2恒成立，只要f(x)max?f(x)min≤a?2，f(x)max?f(1)?a?e?lna，f(x)min?f(0)?1?1?2，

所以a?2≥a?e?lna?2，即lna≥e,a≥e．选B

13.【解析】甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y＝4，∴x+y=5．故答案为：5．

e4?1??2?14.【解析】启动一次出现数字为A=10101的概率P??????由题意知变量符合二项

?3??3?814??η~100，分布，根据成功概率和实验的次数的值，有?? ∴η的数学方差为

81??22Dη?100*47730800*?．设得分为81816561x?2η?1*?100?η??3η?100

所以Dx?D?3x?100??9Dη=

30800．

７２９15【解析】如图所示，当﹣6，可得图象．根据偶函数的对称性

质画出[0，2]的图象，再据周期性：对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），画出[2，6]的图象．画出函数y=loga（x+2）（a＞1）的图象．∵在区间（﹣2，6]内关于x的f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，∴loga8＞3，loga4＜3，∴4＜a＜8，解得

3

＜a＜2．

222216. 【解析】：x?y?6y?8?0化简为x?(y?3)?1，圆心A(0,3).PQ的最大值为

2x5等价于AQ的最大值为4设Q(x,y)，即x?(y?3)?16，又2?y2?1?a?1?化简得到

a22(1?a2)y2?6y?a2?7?0(?1?y?1)当y??1时，验证等号成立对称轴为x?3满足1?a23x2x???1,a?2故1?a?2当a?2时，离心率有最大值，此时椭圆方程为?y2?1，21?a4设左焦点为F1 PQ?QF?PQ?4?QF1?AQ?1?4?QF1?AF1?5?5?23 当A,F1,P,Q共线时取等号.故答案为3和5?23 2解

：

由

得

：

17. 【解析】(Ⅰ)

即

∵A、B、C是△ABC的内角，∴ 因此，，又，故

由∴

得：

········

··6分

(Ⅱ)解：由得：

由正弦定理得：，∴

在△BCD中， ∴CD =

13．．··········12分

20?1200?n??12??1200018.【试题解析】（（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为n1,n2，则?,

20?800?n??82?2000? 所以x?12?5?3?4， y?8?3?3?2．………………………3分 （2）列联表如下：

不参加课外阅读 参加课外阅读 总计 2男生 4 8 12 女生 2 6 8 总计 6 14 20 20?(4?6?2?8)210??0.159?2.706， K的观测值k?12?8?14?663所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．………………………………7分

3111C3?C2C3C319（3）X的可能取值为0，1，2，3，则P(X?0)??， 3C8563111221C3C3?C32C2?C2C3?C2C33P(X?1)??3C87211C2C3?C32C33P(X?2)??3C814，

3C3119313151……………12P(X?3)?3?， 所以EX?0??1??2??3??567145656C856分

19.【解析】（1）设等差数列?an?的首项为a1，公差为d，由S4?4S2,a2n?2an?1得

4a1?6d?8a1?4d,? 解得a1?1,d?2，因此an?2n?1,n?N*……………5分 ??a1??2n?1?d?2a1?2?n?1?d?1（2）由已知b1?b2?????bn?1?1,n?N*，

na1a1a22an21?1当n?1时，b1?1, 当n?2时，bn?1?1???1?n?1??n， nan2?2?2?1所以bn?1,n?N*，由（1）知an?2n?1,n?N*， 所以bn?2nn,n?N*，……………….7n2an2分

?1， 又Tn?1?32?53?????2nn222211352n?32n?1，两式相减得Tn?2?3?4??????n?122222n211?2222?2n?1312n?1Tn???2?3?4?????n??n?1??n?1?n?1，所以22?2222?2222Tn?3?2n?3…………………10分

2n因为

所以，所以的最大整数为1009…………………………12分

20. 【解析】解（1）当P为C的短轴顶点时，?PF1F2的面积有最大值3所以c1????a?2a2?2?x2y222?1.………………5分 ?a?b?c，解得?b?3，故椭圆C的方程为：?43?1?c?1???2c?b?3?2（2）（2）设直线PQ的方程为y?k(x?1)，

22xy2222将y?k(x?1)代入??1，得?3?4k?x?8kx?4k?12?0；……………………6

43分

设P?x1,y1?,Q?x2,y2?，线段PQ的中点为N?x0,y0?，

?4k2?3k?y1?y2?3kN,，即y0??k?x0?1???22?…823?4k3?4k23?4k??x1?x24k2x0??,223?4k分 因为|TPkPQ??1，?TQ|，所以直线TN为线段PQ的垂直平分线，所以TN?PQ，则kTN·?3kk1?tt?2?4k2?3?k??1，所以即4k?34k?3，………………10分

4k2k4k2?3?3?330,4k???43，所当k?0时，因为4k??43，所以t??，当时，因为k?0??12kk???3?t?,0?以.综上，存在点T，使得|TP?TQ|，且t的取值范围为????12??3??3?,0???????0,12?.…12分 12????21.【解析】函数f(x)的定义域为(??,??)，……………………………………1分

xxx因为f(x)?xe?a(1?e)?1，所以f?(x)?(x?1?a)e．……………………2分

所以当x?a?1时，f?(x)?0， f(x)在(a?1,??)上是增函数；

当x?a?1时，f?(x)?0，f(x)在(??,a?1)上是减函数．……………………4分 所以f(x)在(a?1,??)上是增函数，在(??,a?1)上是减函数．……………………5分 （2）证明：由题意可得，当x?0时，f(x)?0有解，

xex?1x(ex?1)?x?1x?1??x?即a?x有解．……………………………6分 xxe?1e?1e?1?xex?1ex(ex?x?2)x?1?1?令g(x)?x?x，则g?(x)?x．…………………7分 2x2(e?1)(e?1)e?1设函数h(x)?e?x?2,h?(x)?e?1?0，所以h(x)在(0,??)上单调递增．

又h(1)?e?3?0,h(2)?e?2?0，所以h(x)在(0,??)上存在唯一的零点．……8分 故g?(x)在(0,??)上存在唯一的零点．设此零点为k，则k?(1,2)．………………9分 当x?(0,k)时，g?(x)?0；当x?(k,??)时，g?(x)?0．

所以g(x)在(0,??)上的最小值为g(k)．………………………………………10分

k又由g?(k)?0，可得e?k?2，所以g(k)?k?xx2k?1?k?1?(2,3)，…………11分 ke?1因为a?g(x)在(0,??)上有解，所以a≥g(k)?2，即a?2．…………………12分

解法2：（2）证明：由题意可得，当x?0时，f(x)?0有解，由（1）可知f(x)在(a?1,??)上是增函数，在(??,a?1)上是减函数，且f(0)?1．

①当a?1?0，即a?1时，f(x)在(0,??)上单调递增，所以当x?0时，f(x)?f(1)?1，不符合题意；

②当a?1?0，即a?1时，f(x)在(0,a?1)上单调递减，在(a?1,??)上单调递增，所以当

x?a?1时，f(x)取得最小值f(a?1)，由题意可知

f(a?1)?(a?1)ea?1?a(1?ea?1)?1?a?ea?1?1≤0，

设g(x)?x?ex?1?1(x?1)，则g?(x)?1?ex?1?0，所以函数g(x)在(1,??)上单调递减，

又g(2)?3?e?0，而g(a)≤0，所以a?2．……12分 22、【解析】（1）当化为直角坐标方程为直线的普通方程为因为圆心

与点

时，圆的极坐标方程为

，即

，与轴的交点的坐标为的距离为

，所以

的最小值为

，可化为

. ……………2分

. ……………5分

，

（2）由可得，所以圆的普通方程为

因为直线被圆截得的弦长等于圆的半径，所以由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距

离为圆半径的倍，所以解得

，又

，所以

. ……………8分

……………10分

?x?3m,x≤?m?23．【解析】因为m?0，所以f(x)?x?m?2x?2m??3x?m,?m?x?m．…1分

??x?3m,x≥m?（1）由即

，得或

， 或

，

解得即（2）若即当当所以又所以即

或或

，所以不等式

，

的解集为对任意对任意

.

恒成立，

恒成立，

； ，

时，时，

的最小值为2，即

. ，

， （当且仅当

时，等号成立）……10分

温馨提示：

1. 认真读题,看清题目。 (特别是概率题和实际应用问题)发卷后，首先要看卷头的参考公式。考试时要把试题中的关键词、字母、字母的限制、图象、括号中的内容、小数点等等都要看清楚。特别要弄清问题是什么？

2.三步四步一回头(尤其是计算量大的题)。对计算量较大的试题,演算完三、四步就要回头检查一次。解析几何中直线代入到圆锥曲线方程，消元得一元二次方程，这一步要检查。

3.答题卷上的答案一定要简约..答题卷上要写重点步骤，小计算放在草纸上进行，概率解答题和特别要注意解题格式的规范。三角解答题已知三角函数值求角，一定注意写出角的范围；求三角函数最值，更要注意角的范围。概率解答题事件要设字母表示。数列递推要注意n的范围变化而考虑是否验证首项问题。函数与导数题首先考虑定义域，含参数问题的分类讨论。 4.选考题一定比较两个题，要权衡得分情况，选择把握大，得分最高的题做。

5.简单题绝对不要过于心急求快! 前三道选择题虽然比较简单， 但也不要过快，因为同学还没有进入到考试状态。过快了就容易看错、看漏，算错等。

6.注意: 千万要注意填空题答案书写要规范。做对2个是基本口粮，能对3个就更好了，第4个填空题常常是最难的（是否绕过去？）。概率与统计题要反复阅读，把题读懂是关键。

7.选择题一定要追求正确率，抓稳前8个不丢分。有时处理有难度的问题可以考虑数形结合法（有时考虑特殊图形）、特值法、极端法、特征性质检验法、排除法，从而避免使用直接法解题的难度。

8.解后边的题时,绝对不能受前面做题情况的影响.试卷难，不会的就多，大家都如此，不要慌乱。

9.解题必须不紧不慢,不能心急,不能过分求快。两个小时的紧张考试，要按从前到后按顺序解答，不能始终低着头不停地思考和计算（有时会出现低级失误），调整坐姿,适当抬头挺胸（深呼吸），记住：有时敢于放弃也是一种大智慧。

10.总之、考试心态就是要稳 (从来考试都是稳者为王） 不过分追求也不懈怠(不贪）. 一定要清楚自己的水平，自己的弱点是什么？ 我难，人难，我不畏难；我易，人易，我不大意！ 提前预祝同学们稳定发挥，在绵阳市的二诊考试中交上一份自己满意的答卷！