3．1.1 空间向量及其线性运算
[学习目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的线性运算及运算律，理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义．
知识点一 空间向量的概念
在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模． 知识点二 空间向量的加减法
(1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图) →→→
OB＝OA＋AB＝a＋b； →→→
CA＝OA－OC＝a－b. (2)运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 知识点三 空间向量的数乘运算 (1)定义
实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与
a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.λa的长度是a的长度
的|λ|倍．如图所示． (2)运算律
分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb； 结合律：λ(μa)＝(λμ)a. 知识点四 共线向量定理 (1)共线向量的定义
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b. (2)充要条件
对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 思考 (1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．对吗？ (2)零向量没有方向．对吗？
(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致．对吗？ 答案 (1)正确．起点相同，终点也相同的两个向量相等． (2)错误．不是没有方向，而是方向任意． (3)正确．
题型一 空间向量的概念 例1 判断下列命题的真假． (1)空间中任意两个单位向量必相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； →→
(4)向量AB与BA的长度相等．
解 (1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同． (2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．
(3)假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的． →→
(4)真命题．因为BA与AB仅是方向相反，但长度是相等的．
反思与感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，
→
(1)试写出与AB相等的所有向量； →
(2)试写出AA1的相反向量；
→
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量AC1的模．
→→→→
解 (1)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1，DC及D1C1共3个． →→→→→
(2)向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D. →
(3)|AC1|＝3.
题型二 空间向量的线性运算
→
例2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为BD1的是________．(填序号) →→→①A1D1－A1A－AB；
→→→②BC＋BB1－D1C1； →→→③AD－AB－DD1； →→→④B1D1－A1A＋DD1. 答案 ①②
→→→→→→
解析 (1)A1D1－A1A－AB＝AD1－AB＝BD1； →→→→→→(2)BC＋BB1－D1C1＝BC1＋C1D1＝BD1；
→→→→→→→→→(3)AD－AB－DD1＝BD－DD1＝BD－BB1＝B1D≠BD1； →→→→→→→→→(4)B1D1－A1A＋DD1＝BD＋AA1＋DD1＝BD1＋AA1≠BD1.
反思与感悟 运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：
(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．
跟踪训练2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为→
向量AC1的是________．(填序号)
→→→→→→→→→→→①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)→＋B1C1. 答案 ①②③④
→→→→→→→→→→→→→→
解析 ①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1；③(AB＋BB1)→→→→→→→→→→
＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1.所以所给四个式子的运算结果→都是AC1.
题型三 空间向量的共线问题
→→→
例3 设e1、e2是平面上不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A、
B、D三点共线，求k的值．
→→→→
解 ∵BD＝CD－CB＝e1－4e2，AB＝2e1＋ke2， 1－4
又A、B、D三点共线，由共线向量定理得＝，
2k∴k＝－8.
反思与感悟 灵活应用共线向量定理，正确列出比例式．
→→→
跟踪训练3 设两非零向量e1、e2不共线，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)．试问：
A、B、D是否共线，请说明理由．
→→→解 ∵BD＝BC＋CD
＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)， →→∴BD＝5AB，
又∵B为两向量的公共点， ∴A、B、D三点共线．
1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的________条件． 答案 必要不充分
解析 a＝b?|a|＝|b|；|a|＝|b|a＝b.
→
2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′的各条棱所在的向量中，模与向量A′B′的模相等的向量有________个． 答案 7
→→→→→→
解析 |D′C′|＝|C′D′|＝|DC|＝|CD|＝|BA|＝|AB| →→
＝|B′A′|＝|A′B′|.
3．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反； ②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|； ③空间向量的减法满足结合律； →→→
④在四边形ABCD中，一定是AB＋AD＝AC. 答案 ②
解析 若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在?ABCD中，→→→
才有AB＋AD＝AC，故④不正确．
→
4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→→→
＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是________．(填序号)
1111
①－a＋b＋c②a＋b＋c
22221111
③－a－b＋c④a－b＋c
2222答案 ①
→→→1→→→解析 BM＝BB1＋B1M＝(AD－AB)＋AA1
211
＝－a＋b＋c.
22
5．下列命题中正确的个数是________． ①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；
②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若a，b，c为任意向量，则(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一个平面内． 答案 3
解析 由单位向量的定义知|a|＝|b|＝1，故①正确；因相等向量不一定有相同的起点和终点，所以②错误；由向量加法运算律知③正确；在空间确定一点后，可将两向量的起点移至该点，两向量所在直线确定一个平面，这两个非零向量就共同在这个平面内，故④正确．
1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．
2．向量可以平移，任意两个向量都可以平移到同一个平面内．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．
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