设二面有D1﹣AE﹣D的平面角的大小为θ， A（1，0，0），B（0，0）， CD1=∴D1（0，0，
），
=（﹣1，
=，0），
，解得=（0，﹣
，
），
，0），D1（0，﹣
，
），C（﹣2，
，
设平面ABD1的一个法向量=（x，y，z）， 则
，取z=1，得=（
），
平面ABC的法向量=（0，0，1）， 设二面角D1﹣AB﹣C的平面角为θ， 则cosθ=
=
．
．
∴二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值为
22．已知曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C的切线EA，EB，切点为A，B．
（1）求曲线C的方程； （2）求|AB|的最小值；
（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．
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【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）利用抛物线的定义，可得曲线C的方程x2=4y．
（2）设E（a，﹣2），A，B的坐标，由题设知x12﹣2ax1﹣8=0．同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0所以x1+x2=2a，x1?x2=﹣8，可得AB中点，由此可知直线AB方程，即可求|AB|的最小值；
（3）由（2）知AB中点，直线AB的方程为，分类讨论，利用条件，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1，
∴P的轨迹是以（0，1）为焦点的抛物线，曲线C的方程x2=4y； （2）设E（a，﹣2），A（x1，
），B（x2，
），
∵，∴y′=，过点A的抛物线切线方程为y﹣=
， 1（x﹣x1）
∵切线过E点，∴整理得：x12﹣2ax1﹣8=0
同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0，∴x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两根，∴x1+x2=2a，x1?x2=﹣8，
可得AB中点为（a，又
=，
=（x﹣a）即y=x+2， ，
；
），直线AB的方程为y=x+2．
=﹣（x﹣a），
，﹣2），
）
∴直线AB的方程为y﹣∴|AB|=
∴a=0时，|AB|的最小值为4
（3）由（2）知AB中点N（a，
当a≠0时，则AB的中垂线方程为y﹣∴AB的中垂线与直线y=﹣2的交点M（∴|MN|2=
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∵|AB|=，
若△ABM为等腰直角三角形，则|MN|=|AB|， ∴
=（
）2，
解得a2=﹣4，∴不存在
当a=0时，经检验不存在满足条件的点M
综上可得，不存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形．
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2017年3月16日
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