全国Ⅱ理科数学高考真题 附答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

1?2i?（ ） 1?2i4535453535453545A．??i B．??i C．??i D．??i

2．已知集合A?{(x,y)|x2?y2?3,x?Z,y?Z}，则A中元素的个数为（ ） A．9 B．8 C．5 D．4

ex?e?x3．函数f(x)?的图象大致为（ ）

x2

4．已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)?（ ）

A．4 B．3 C．2 D．0

x2y25．双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）

abA．y??2x B．y??3x C．y??6．在△ABC中，cosAB?（ ）

C5，BC?1，AC?5，则?2532x x D．y??22开始N?0,T?0i?1是1ii?100否A．42 B．30 C．29 D．25 111117．为计算S?1????L??，设计了右

23499100侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）

A．i?i?1 B．i?i?2 C．i?i?3 D．i?i?4

N?N?T?T?S?N?T输出S结束1i?1

8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）

A．

1111 B． C． D． 121415189．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）

A． B．15552 C． D． 65210．若f(x)?cosx?sinx在[?a,a]是减函数，则a的最大值是（ ）

A． B． C．

π4π23π D．π 411．已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)?2，则f(1)?f(2)?f(3)?L?f(50)?（ ）

A．?50 B．0 C．2 D．50

x2y212．已知F1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左，右焦点，A是C的左顶点，

ab点P在过A且斜率为离心率为（ ）

3的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，则C的612A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y?2ln(x?1)在点(0,0)处的切线方程为__________．

?x?2y?5≥0,?14．若x,y满足约束条件?x?2y?3≥0,则z?x?y的最大值为__________．

?x?5≤0,?23131415．已知sinα?cosβ?1，cosα?sinβ?0，则sin(α?β)?__________． 16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．

78三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1??7，S3??15．

（1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．

18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,L,17）

???30.4?13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次建立模型①：y??99?17.5t． 为1,2,L,7）建立模型②：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与

C交于A，B两点，|AB|?8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

20．（12分）如图，在三棱锥P?ABC中，

AB?BC?22，PA?PB?PC?AC?4，O为AC的中

P点．

（1）证明：PO?平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为

30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

ABOMC

21．（12分）已知函数f(x)?ex?ax2． （1）若a?1，证明：当x≥0时，f(x)≥1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a．