11．椭圆x2＋
y2b2
＝1(0 1?12?2 ，1 C.?0，? D.?0，? ，1 B.??2??2?2??2?? 答案 A 解析 方法一 如图所示，右顶点B(1,0)，上顶点A(0，b)，左焦点F(－1－b2，0)，线段1－1－b21b? FB的垂直平分线为x＝.线段AB的中点坐标为??2，2?. 2 ∵kAB＝－b， 1∴线段AB的垂直平分线的斜率k＝， b∴线段AB的垂直平分线方程为 11－1－b2b1 x－?，把x＝y－＝?＝m， 2?2b?2b2－1－b2 代入上述方程，可得y＝＝n. 2b 由P(m，n)在直线y＝－x的左下方，可得m＋n<0， ∴ 1－1－b2b2－1－b2 ＋<0， 22b 化简得b<1－b2， 又0 2 . 2 c2 ∴e＝＝c＝1－b2∈?，1?， a?2?∴椭圆离心率的取值范围为? 2? . ?2，1? 方法二 设A(0，b)，B(a,0)，F(－c,0)， 设△FAB的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将A，B，F代入外接圆方程， －c＋ab2－ac 解得m＝，n＝. 22b 6 由P(m，n)在直线y＝－x的左下方，可知m＋n<0， ∴ －c＋ab2－ac ＋<0， 22b b－cc 整理得1－c＋b－<0，∴b－c＋<0， bbc ∴b－c<0，又椭圆的离心率e＝＝c， a∴c2>b2， 即c2>a2－c2,2c2>a2,2e2>1， 由0 2 2? . ?2，1? ∴椭圆离心率的取值范围为? 1＋z 12．已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则S＝的最小值为( ) 2xyzA．3 C．4 答案 C 解析 由题意可得0 z＋1－z?21?2?＝4， 3B. 3＋1 2 D．2(2＋1) 1 当且仅当z＝1－z，即z＝时取等号． 2又x2＋y2＋z2＝1，∴1－z2＝x2＋y2≥2xy， 当且仅当x＝y时取等号，∴∴∴ 1＋z 2xy 1－z 1－z2 ≥1， 2xy 1＋z1 ≥1，∴≥， 2xy1－z 1＋z1 ≥≥4， 2xyz1－zz 61 且z＝时取等号， 42 当且仅当x＝y＝ 1＋z ∴S＝的最小值为4. 2xyz 4＋3i 13．已知复数z满足iz＝，则复数z在复平面内对应的点在第__________象限． 1＋2i答案 三 4＋3i 解析 ∵iz＝， 1＋2i 7 ∴z＝＝ 4＋3i4＋3i4＋3i ＝＝ 1＋2ii－2＋i－2＋i －2－i －2－i －5－10i ＝－1－2i， 5 ∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限． x＋y＋4>0，?? ?2x－y＋8≥0，??x≤m， 14．若直线y＝3x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的取值范围是__________． 答案 (－1，＋∞) 解析 由题意作出其平面区域， ?y＝3x，? 由?解得A(－1，－3)．故m>－1. ?y＝－x－4，? 15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos B＝C，则△ABC的面积为________． 答案 15 1 ，b＝4，sin A＝2sin 4 解析 根据余弦定理的推论 a2＋c2－b2 cos B＝，可得 2ac1a2＋c2－42＝， 42ac 化简得2a2＋2c2－32＝ac.(*) ac又由正弦定理＝， sin Asin C 8 asin A2可得＝＝， csin C1即a＝2c，代入(*)式得 2·(2c)2＋2c2－32＝2c·c， 化简得c2＝4，所以c＝2， 则a＝4， 又B∈(0，π)， 则sin B＝1－cos2B＝ 15 ， 4 1115S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝15， 224即△ABC的面积为15. 16．已知双曲线 x2 a2 － y2b2 ＝1(a>0，b>0)上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率2 分别为k1，k2，当＋ln|k1|＋ln|k2|最小时，双曲线的离心率为________． k1k2答案 3 解析 设A(x1，y1)，C(x2，y2)， x2y2 由题意知，点A，B为过原点的直线与双曲线－＝1的交点， a2b2∴由双曲线的对称性，得A，B关于原点对称， ∴B(－x1，－y1)， y2－y1y2＋y1y22－y21 ∴k1k2＝·＝， x2－x1x2＋x1x22－x21∵点A，C都在双曲线上， x21y21x22y22 ∴－＝1，－＝1， a2b2a2b2b2 两式相减，可得k1k2＝>0， a2 22对于＋ln|k1|＋ln|k2|＝＋ln|k1k2|， k1k2k1k22 设函数y＝＋ln x，x>0， x21 由y′＝－＋＝0，得x＝2， x2x 当x>2时，y′>0，当0 ∴当x＝2时，函数y＝＋ln x，x>0取得最小值， x 9 2b2∴当＋ln(k1k2)最小时，k1k2＝＝2， k1k2a2∴e＝ b21＋＝3. a2 10
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