因为c?4，又所以sinC?2ca??42， sinCsinA?2，又C为锐角，可得C?.
42222因为16?a?b?2abcosC?a?b?2ab?2?2ab， 所以ab???16?82?2， 2?2??当且仅当a?b?82?2时等号成立， 即S?ABC???12absinC?ab?4?42， 24即当a?b?82?2时，?ABC面积的最大值为4?42. 故答案为4?42. 【点睛】
本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要
??b2?c2?a2熟记两种形式：（1）a?b?c?2bccosA；（2）cosA?，同时还要熟
2bc222练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住
30o,45o,60o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
16．390【解析】【分析】【详解】用2色涂格子有种方法用3色涂格子第一步选色有第二步涂色共有种所以涂色方法种方法故总共有390种方法故答案为:390
解析：390 【解析】 【分析】 【详解】 用2色涂格子有
种方法,
用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有
种,
所以涂色方法故总共有390种方法. 故答案为:390
种方法,
17．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半
径即可【详解】设球半径为R球心O到上表面距离为x则球心到下表面距离为6-x结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查 解析：80?
【解析】 【分析】
本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。 【详解】
设球半径为R，球心O到上表面距离为x，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式22?x2?42+?6?x?，解得x?4，所以半径R2?x2?22?20 因而表面积S?4?R2?80? 【点睛】
本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。
218．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所 解析：1
【解析】 【分析】
由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求． 【详解】
设三棱柱ABC?A1B1C1的底面积为S'，高为h， 则S'h?9，S'?9， h119S'h'?2，得??h'?2， 33h再设S到底面ABC的距离为h'，则所以
h'2?， h313则S到上底面A1B1C1的距离为h， 所以三棱锥S?A1B1C1的体积为故答案为1． 【点睛】
本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为V?111S'?h??9?1． 3391Snh，本题是中档题． 3底19．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8
解析：1：8 【解析】
1ShV1311S1h1111＝?＝?＝，所以体积比为1∶8. 考查类比的方法，＝V21ShS2h242822320．－【解析】因为＝＝＝＝＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos2α＋1＝所以cos2α＝又α是第四象限角所以sin2α＝－tan2α＝－点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同
解析：－【解析】
3 4sin?2????sin3?因为＝
sin?sin?＝
sin2?cos??cos2?sin?
sin?＝
2sin?cos2??2cos2??1sin?sin???
4sin?cos2??sin?＝
sin?＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos 2α＋1 ＝
134，所以cos 2α＝. 55又α是第四象限角，所以sin 2α＝－
33，tan2α＝－. 54点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）[,??). 【解析】 【分析】
（1）f?x?的定义域为?0,???，且f??x??可；
（2）由题意可知b?x?1?e?lnx?0在1,???上恒成立，分类讨论b?0和b?0两种情
x1e?x?1??ex?ax?，据此确定函数的单调性即
x2?况确定实数b的取值范围即可. 【详解】
（1）f?x?的定义域为?0,??? ∵f??x???x?1??ex?ax?，a?0，
x2∴当x??0,1?时，f??x??0；x??1,???时，f??x??0 ∴函数f?x?在?0,1?上单调递减；在?1,???上单调递增. （2）当a??1时，f?x???bx?b?x??1?xx?e?x ?b?x?1?e?lnx x?由题意，b?x?1?e?lnx?0在1,???上恒成立
①若b?0，当x?1时，显然有b?x?1?e?lnx?0恒成立；不符题意.
xx②若b?0，记h?x??b?x?1?e?lnx，则h??x??bxe??x1, x显然h??x?在1,???单调递增， （i）当b??1时，当x?1时，h??x??h??1??be?1?0 e∴x?1,???时，h?x??h?1??0 ?1?1?（ii）当0?b?，h??1??be?1?0，h????eb?b?e?1?0
e?b?∴存在x0?1，使h??x??0.
当x??1,x0?时，h??x??0，x??x0,???时，h??x??0 ∴h?x?在?1,x0?上单调递减；在?x0,???上单调递增 ∴当x??1,x0?时，h?x??h?1??0，不符合题意 综上所述，所求b的取值范围是?,??? 【点睛】
本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22．（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】
（1）先证明AC?平面PBC，然后可得平面EAC?平面PBC；
1?1?e??2 3（2）建立坐标系，根据二面角P?AC?E的余弦值是线PA与平面EAC所成角的正弦值. 【详解】
6可得PC的长度，然后可求直3（1）PC?平面ABCD，AC?平面ABCD，得AC?PC. 又AD?CD?1，在Rt?ADC中，得AC?2，
设AB中点为G，连接CG，则四边形ADCG为边长为1的正方形，所以CG?AB，且
BC?2，
因为AC2?BC2?AB2，所以AC?BC， 又因为BC?PC?C，所以AC?平面PBC， 又AC?平面EAC，所以平面EAC?平面PBC.
（2）以C为坐标原点，分别以射线CD?射线CP为y轴和z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则C?0,0,0?，A?1,1,0?，B?1,?1,0?.
uruuur?11a?uu又设P?0,0,a??a?0?，则E?,?,?，CA??1,1,0?，CP??0,0,a?，
?222?uuur?11a?uuurCE??,?,?，PA??1,1,?a?.
?222?uruuur由BC?AC且BC?PC知，m?CB??1,?1,0?为平面PAC的一个法向量. rruuurruuur设n??x,y,z?为平面EAC的一个法向量，则n?CA?n?CE?0，
r?x?y?0y??a即?，取x?a，，则n??a,?a,?2?，有
x?y?az?0?urrm?nurrruuura6cosm,n?u?rr?，得a?2，从而n??2,?2,?2?，PA??1,1,?2?. 23m?na?2设直线PA与平面EAC所成的角为?，则
ruuurn?PAruuur2?2?42sin??cosn,PA?ruuur?. ?3n?PA6?12即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为
2. 3
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